Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXVII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

I

Rzucamy kostką najpierw raz, a następnie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną sumy wyrzuconych oczek {łącznie z pierwszym rzutem).

Rozwiązanie

Niech $X_0$ oznacza liczbę oczek wyrzuconych w pierwszym rzucie. Jeśli $X_0 = j$ , to wykonuje się $j$ dalszych rzutów. Oznaczmy ich wyniki kolejno przez $X_1,\ldots,X_j$ i przyjmijmy $X_k = 0$ dla $k >j$ . Rozważana w zadaniu
zmienna losowa jest wtedy sumą $X = \sum_{k=0}^6 X_k$ .

Ustalmy $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i zauważmy, że $X_k = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X_0 < k$ (czyli gdy nie dochodzi do wykonania rzutu reprezentowanego przez zmienną losową $X_k$ ). Zatem

$<br /> P(X_k = 0) = P(X_0<k) = \frac{1}{6} (k- 1).<br />$

Każdą z sześciu możliwych niezerowych wartości zmienna $X_k$ przyjmuje z jednakowym prawdopodobieństwem. Wobec tego

$<br /> P(X_k =j) =\frac{1}{6} (1 - P(X_k = 0)) = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{1}{6} (k - 1)\right) = \frac{1}{36} (7 -k)<br />$

dla $j = 1, \ldots, 6$ . Stąd

$<br /> E(X_k) = \sum_{k=0}^6 jP(X_k =j) = \frac{1}{36} (7 - k)(1+2 +3+4+5+6) =<br /> \frac{7}{12} (7-k)<br />$

dla $k = 1, \ldots, 6$ . Ponieważ

$<br /> E(X_0) = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6) = \frac{7}{2},<br />$

więc ostatecznie wartość oczekiwana rozważanej zmiennej losowej $X$ wynosi

$<br /> E(X) = \sum_{k=0}^6 E(X_k) = \frac{7}{2} + \sum_{k=1}^6 \frac{7}{12} (7 - k) =<br /> = \frac{7}{2} + \frac{7}{12} (6+5+4+3+2+1) = \frac{63}{4}.<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/777