XXXVII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Udowodnić, że jeżeli prosta łącząca środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu przechodzi przez środek kuli wpisanej w ten czworościan, to przechodzi również przez środek kuli opisanej na tym czworościanie.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Dany jest wypukły kąt dwuścienny utworzony przez półpłaszczyzny $\alpha$ i $\beta$ o wspólnej krawędzi $l$ . Niech $\pi$ będzie półpłaszczyzną dwusieczną tego kąta dwuściennego. Przypuśćmy, że punkt $P \in \pi$ jest środkiem odcinka $AB$ o końcach $A \in \alpha$ , $B \in \beta$ (przy czym $A$ , $B$ , $P \in l$ ). Niech $O$ oznacza rzut prostokątny punktu $P$ na prostą $l$ . Wówczas proste $OP$ i $AB$ są prostopadłe.

Dowód lematu. Proste $l$ i $AB$ są skośne. Istnieje zatem dokładnie jedna płaszczyzna $\sigma$ zawierająca prostą $AB$ i równoległa do $l$ . Przecina ona półpłaszczyzny $\alpha$ , $\beta$ i $\pi$ wzdłuż prostych $\alpha \cap \sigma$ , $\beta \cap \sigma$ , $\pi \cap \sigma$ równoległych do $l$ (rysunek 5). Proste $\pi \cap \sigma$ i $OP$ są więc prostopadłe.

Rozważmy trójkąt $OST$ położony w płaszczyźnie prostopadłej do $l$ , o wierzchołkach $S \in \alpha \cap \sigma$ , $T \in \beta \cap \sigma$ . Trójkąty prostokątne $ASP$ i $BTP$ mają równe kąty ( $|\measuredangle SPA| = |\measuredangle TPB|$ jako kąty wierzchołkowe) i równe przeciwprostokątne ( $|PA| = |PB|$ ) - są więc przystające i wobec tego $|PS| = |PT|$ . Zatem odcinek $OP$ jest środkową w trójkącie $OST$ . Jest on jednocześnie dwusieczną kąta $SOT$ (bo półpłaszczyzna $\pi$ połowi kąt dwuścienny między $\alpha$ i $\beta$ ). Wynika stąd, że ten odcinek jest w trójkącie $OST$ również wysokością, a więc $OP \bot ST$ . Prosta $OP$ , jako prostopadła do prostych $ST$ i $\pi \cap \sigma$ położonych w płaszczyźnie $\sigma$ , jest prostopadła do tej płaszczyzny - a zatem i do prostej $AB$ .

Dowód tezy zadania. Niech $P$ i $Q$ będą środkami krawędzi $AB$ i $CD$ czworościanu $ABCD$ (rysunek 6) i niech zgodnie z założeniem zadania prosta $PQ$ przechodzi przez środek kuli wpisanej w czworościan. Wówczas półpłaszczyzna $CDP^\rightarrow$ połowi kąt dwuścienny utworzony przez ściany $CDA$ i $CDB$ . Oznaczając przez $O$ rzut prostokątny punktu $P$ na prostą $l = CD$ mamy na mocy lematu $OP \bot AB$ . Analogicznie, półpłaszczyzną $ABQ^\rightarrow$ połowi kąt dwuścienny między ścianami $ABC$ i $ABD$ , i z lematu $QR \dot CD$ , gdzie $R$ jest rzutem punktu $Q$ na prostą $AB$ .

Tak więc każda z prostych $OP$ i $QR$ jest prostopadła zarówno do prostej $AB$ , jak i do $CD$ . Ale dla dowolnej pary prostych skośnych istnieje tylko jedna prosta przecinająca je obydwie i do nich prostopadła. W konsekwencji proste $OP$ i $QR$ pokrywają się. Znaczy to, że prosta $PQ$ jest prostopadła do prostych $AB$ i $CD$ . Zatem płaszczyzny $CDP$ i $ABQ$ są płaszczyznami symetralnymi odcinków $AB$ i $CD$ (odpowiednio). Środek kuli opisanej musi należeć do obu tych płaszczyzn, a więc i do ich krawędzi przecięcia, czyli prostej $PQ$ .