XXXVII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ciągłe w zerze i takie, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość

$ 2f(2x) = f(x) + x. $

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , ciągła w punkcie $0$ , spełnia dane równanie funkcyjne.

W celu pozbycia się drugiego składnika po prawej stronie równania wprowadzamy funkcję pomocniczą $h(x) =f(x)-\frac{1}{3}x$ ; jest ona również ciągła w punkcie $0$ . Wstawiając $f(x) = h(x) + \frac{1}{3} x$ , $f(2x) = h(2x) + \frac{2}{3} x$ do rozważanego równania, sprowadzamy je do postaci

$ 2h(2x) | + \frac{4}{3}x = h(x)+ \frac{1}{3}x+x, $

czyli

$ (1) \qquad h(2x) = \frac{1}{2} h(x) \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R}. $

Weźmy dowolną liczbę $x_0 \in \mathbb{R}$ . Podstawiając w (1) $x = 2^{-n}x_0$ , $n = 0, 1, 2, \ldots$ , dostajemy

$ h(2^{-(n-1)} x_0)= \frac{1}{2} h(2^{-n}x_0), $

skąd przez indukcję

$ (2) \qquad h(x_0) = 2^{-n}h(2^{-n}x_0) \ \textrm{dla} \ n = 0, 1, 2, \ldots. $

Z ciągłości $h$ w punkcie $0$ wynika, że ciąg liczb otrzymanych po prawej stronie (2) dąży do $0$ przy $n \to \infty$ . A to oznacza, że $h(x_0) = 0$ . Ponieważ punkt $x_0$ był wybfany dowolnie, funkcja $h$ równa się tożsamościowo zeru. Zatem,

$ f(x) = \frac{1}{3} x \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R} $

Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że funkcja ta istotnie jest rozwiązaniem danego w zadaniu równania.