Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXVII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

II

Liczby naturalne $x, y, z$ , których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

$<br /> \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br />$

Dowieść, że $x + y$ jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Równanie przepisujemy w postaci

$<br /> (1) \qquad (x+y)z = xy.<br />$

Niech $k$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ i $y$ : $k = NWD (x,y)$ . Mamy więc

$<br /> x = km,\ y = kn,\ NWD (m, n) = 1.<br />$

Zauważmy, że

$<br /> (2) \qquad NWD (m + n, mn) = 1,\ NWD (k, z) = 1.<br />$

Pierwsza z równości (2) wynika z tego, że $NWD (m, n) = 1$ (każdy dzielnik pierwszy iloczynu $mn$ musi dzielić $m$ lub $n$ , więc nie może dzielić sumy $(m + n)$ ; druga równość (2) jest konsekwencją założenia $NWD (x, y, z) = 1$ .

Podstawiając $x = km$ , $y = kn$ do (1) i dzieląc stronami przez $k$ dostajemy

$<br /> (m + n)z = kmn,<br />$

a stąd, na mocy (2),

$<br /> m + n = k,\ z = mn.<br />$

Ostatecznie więc

$<br /> x + y = k(m + n) = k^2.<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/782