XXXVII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Udowodnić, że jeżeli wielomian $f$ nie równy tożsamościowo zeru spełnia dla każdego rzeczywistego $x$ równość $f(x)f(x + 3) = f(x^2 + x + 3)$ , to nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien wielomian $f$ spełniający podane założenia ma pierwiastki rzeczywiste. Niech $x_0$ będzie największym z nich. Liczba $y_0 = x_0^2 + x_0+ 3 > x_0$ także jest pierwiastkiem wielomianu $f$ , bo

$<br /> f(y_0) =f(x_0)f(x_0 + 3) = 0<br />$

- wbrew temu, że $x_0$ jest największym pierwiastkiem. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $f$ nie może mieć pierwiastków rzeczywistych.