XXXVII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

III

Kwadrat o boku długości 1 pokryto $m^2$ prostokątami. Dowieść, że obwód pewnego z tych prostokątów jest większy lub równy $4/m$ .

Rozwiązanie

Pole $P = ab$ i obwód $p = 2(a+b)$ prostokąta o bokach długości $a$ , $b$ związane są nierównością

$<br /> p^2 = 4(a + b)^2 = 4((a - b)^2 + 4ab) \geq 16P.<br />$

Gdyby więc każdy z rozważanych $m^2$ prostokątów miał obwód mniejszy od
$4/m$ , to pole każdego z nich byłoby mniejsze od $\frac{1}{16} \cdot \left( \frac{4}{m} \right)^2$ (czyli od $1/m^2$ ), a więc suma ich pól byłaby mniejsza od $1$ - wbrew założeniu, że pokrywają one kwadrat jednostkowy.