XXXVII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

III

Wyznaczyć te liczby całkowite nieujemne $n$ , dla których istnieje taki wielomian $f$ stopnia $n$ o współczynnikach rzeczywistych, że $f(x) > f'(x)$ dla każdego rzeczywistego $x$ .

Rozwiązanie

Wykażemy, że żądaną własność mają wszystkie liczby parzyste (i tylko one).

Jeśli $f$ jest wielomianem stopnia $n > 0$ o podanej własności, to wówczas

$ g(x)=f(x)-f'(x) $

jest także wielomianem stopnia $n$ , przy czym $g (x) \geq 0$ dla $x \in \mathbb{R}$ . Ponieważ każdy wielomian stopnia nieparzystego (o współczynnikach rzeczywistych) przyjmuje również wartości ujemne, $n$ musi być liczbą parzystą.

Gdy $n = 0$ , to oczywiście wielomian $f(x) = 1$ spełnia warunek $f(x)>f'(x) = 0$ .

Gdy $n$ jest liczbą parzystą dodatnią, bierzemy wielomian $h(x) = x^n$ . Różnica

$ h(x)-h'(x) = x^n - nx^{n-1} = x^{n-1}(x - n) $

jest dodatnia poza przedziałem $\langle 0; n \rangle$ , a dla $x \in \langle 0; n \rangle$ jej wartość bezwzględna nie przekracza $n^{n-1} \cdot n = n^n$ . Zatem wielomian $f(x) = h(x)+n^n$ spełnia żądany warunek

$ f(x)-f'(x) = n^n+h(x) - h'(x) \geq 0 \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R}. $