XXXVI OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

Rozwiązanie

Niech w trójkącie $ABC$ punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ będą odpowiednio punktami przecięcia boków $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ przez dwusieczne przeciwległych kątów. Przypuśćmy, że prostopadłe do boków poprowadzone przez te punkty przecinają się w punkcie $K$ (rysunek 1). Oznaczając $|AB| = c$ , $|BC| = a$ , $|CA|=b$ , $|A_1K| =p$ , $|B_1K = q$ , $|C_1K| = r$ , $|A_1B| = x$ , $|B_1C| = y$ , $|C_A|= z$ mamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa

$ (b-y)^2+q^2 = z^2+r^2, \quad (c-z)^2+r^2 = x^2+p^2,\quad (a-x)^2+p^2 = y^2+q^2. $

Dodając te równości stronami dostajemy

$ (*) \qquad a^2+b^2+c^2-2(ax+by+cz) = 0. $

Załóżmy więc, że $a > 0$ i przyjmijmy $u = \sqrt[3]{x}$ , $v = \sqrt[3]{y}$ , $\alpha = \sqrt[3]{a}$ , $\beta = \sqrt[3]{b}$ . Dany w zadaniu układ równań przybiera postać

$ \left\{ \begin{split} & \sqrt{u^6+u^4v^2} + \sqrt{v^6+u^2v^4} = \alpha^3\\ & u^3+v^3+3 \beta uv = \beta^3 \end{split} \right. $

czyli równoważnie

$ \left\{ \begin{split} & u^2 \sqrt{u^2+v^2}+ v^2\sqrt{v^2+u^2} = \alpha^3\\ & u^3 + v^3 + 3\beta uv = \beta^3 \end{split} \right\} $

lub jeszcze prościej

$ \left\{ \begin{split} & u^2+v^2 = \alpha^2\\ & u^3+v^3+3\beta uv-\beta^3 = 0. \end{split} \right. $

Oznaczmy lewą stronę ostatniego równania przez $L (u,v)$ i przekształćmy, jak następuje:

$ \begin{split} L(u,v) & = (u+v)^3-3u^2v-3uv^2+3\beta uv-\beta^3= (u+v)^3- \beta^3-3uv(u+v-\beta) =\\ & = (u+v-\beta)((u+v)^2+ (u+v)\beta+\beta^2-3uv) =\\ & = (u+v-\beta)(u^2+v^2+\beta^2-uv+u\beta+v\beta) =\\ & = \frac{1}{2} (u+v-\beta)((u-v)^2 + (u+\beta)^2+ (v+\beta)^2). \end{split} $

Otrzymaliśmy rozkład wyrażenia $L(u,v)$ na iloczyn dwóch czynników, zatem rozważany układ równań (którego drugim równaniem jest $L(u,v) = 0$ ) jest równoważny alternatywie układów

$ \begin{array}{cc} (I) \begin{array}{rl} u^2+v^2 & = \alpha^2\\ u+v & = \beta \end{array} & (II) \begin{array}{rl} u^2+v^2 & = \alpha^2\\ (u-v)^2+(u+\beta)^2 + (v+\beta)^2 & = 0 \end{array} \end{array} $

Rozwiązanie układu (I). Podnosząc drugie równanie stronami do kwadratu i uwzględniając równanie pierwsze dostajemy $\alpha^2+2uv = \beta^2$ , skąd $v = (\beta^2-\alpha^2)/2$ . Mając daną sumę i iloczyn liczb $u$ i $v$ znajdujemy te liczby jako pierwiastki trójmianu kwadratowego $t^2-\beta t+ (\beta^2- \alpha^2)/2$ . Rozwiązanie istnieje, gdy wyróżnik tego trójmianu $\Delta = 2\alpha^2-\beta^2$ jest nieujemny, czyli gdy $|b| \leq \sqrt{8}a$ (piszemy $a$ bez znaku wartości bezwzględnej, bo przyjęliśmy, że $a \geq 0$ ). Rozwiązaniem są wówczas liczby $u = (\beta \pm \sqrt{\Delta})/2$ , $v = (\beta \mp \sqrt{\Delta})/2$ , co po powróceniu do wyjściowych oznaczeń daje

$ \begin{array}{ccc} (*) \left\{ \begin{array}{rl} x & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} + \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3\\ y & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} - \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3 \end{array} \right. & \textrm{lub} & \left\{ \begin{array}{rl} x & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} - \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3\\ y & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} + \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3. \end{array} \right. \end{array} $

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania; są one identyczne, gdy $\Delta = 0$ , czyli gdy $|b| = \sqrt{8}a$ ; wówczas wzory (*) przybierają prostą postać $x = y = b/8$ .

Rozwiązanie układu (II). Z drugiego równania dostajemy $u=v=-\beta$ , co po podstawieniu do pierwszego równania daje $2\beta^2 = \alpha^2$ , czyli $|b| = a/\sqrt{8}$ . Jest to warunek na istnienie rozwiązania układu (II). W oznaczeniach wyjściowych rozwiązanie to wyraża się wzorem $x = y = - b$ .

Rekapitulacja. Dany w zadaniu układ równań ma:

zero rozwiązań, gdy $|b| > \sqrt{8}a$ (objęte tym są wymienione na wstępie przypadki $a <0$ i $a \ne 0 = b$ );
jedno rozwiązanie $x = y = b/8$ , gdy $|b| = \sqrt{8}a$ (obejmuje to przypadek $a = b = 0$ );
dwa rozwiązania dane wzorami (*), gdy $|b| < \sqrt{8}a$ , $|b| \ne a/\sqrt{8}$ ;
trzy rozwiązania: dwa dane wzorami (*) oraz trzecie $x = y = -b$ , gdy $|b|=a/ \sqrt{8}$ .