XXXVI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $(x_j)$ , $(y_j)$ . Niech

$<br /> z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots .<br />$

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $m$ zachodzi $z_j = 0$ dla $j < m$ oraz $z_m = 1$ , to istnieją takie liczby naturalne $p, q$ , że $x_py_q = m$ .

Rozwiązanie

Gdyby któryś z ciągów $(x_j)$ , $(y_j)$ składał się z samych zer, to i wszystkie wyrazy ciągu $(z_n)$ byłyby zerami, wbrew temu, że $z_m = 1$ . Zatem w każdym z tych ciągów są wyrazy niezerowe. Niech $p$ oraz $q$ oznaczają najmniejsze numery takie, że $x_p \neq 0$ oraz $y_q \neq 0$ . Pokażemy, że liczby $p$ i $q$ mają własność żądaną w zadaniu.

Dla każdego $n$ , z definicji, liczba $nz_n$ jest sumą składników postaci $x_iy_j$ gdzie $i+j = n+1$ . Gdy $n+1 <p + q$ , każdy składnik tej sumy jest zerem (gdyż $i < p$ lub $j < q$ ), a więc $z_n = 0$ . Gdy $n+1 = p+q$ , w sumie tej jest dokładnie jeden składnik niezerowy, mianowicie $x_py_q$ , a zatem $nz_n = (p+q-1)z_{p+q-1}=x_py_p\neq 0$ . Ale najwcześniejszym niezerowym. wyrazem ciągu $(z_n)$ jest $z_m = 1$ . Stąd $m = p+q-1$ i $x_py_g = mz_m = m$ .