XXXVI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Obliczyć długości równoległych boków trapezu znając długości pozostałych boków i przekątnych.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie rozważanym trapezem, $AB\parallel CD$ , $|AB| = a$ , $|BC| = b$ , $|CD| = c$ , $|DA| = d$ , $|AC| = p$ , $|BD| = q$ (rysunek 2). Mając dane $b$ , $d$ , $p$ , $q$ należy znaleźć $a$ i $c$ .

Zauważmy przede wszystkim, że jeśli $p = q$ , to wówczas musi być $b = d <p$ i w tym przypadku zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania: istnieje nieskończenie wiele trapezów równoramiennych o długości ramienia $b$ i długości przekątnej $p$ . Dokładniej, jeśli $a$ jest dowolną liczbą spełniającą nierówność $p-b <a < p+b$ , to istnieje trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = a$ , $|BC| = b$ , $|CA| = p$ i żądany trapez $ABCD$ otrzymujemy biorąc jako wierzchołek $D$ obraz punktu $C$ w symetrii osiowej względem symetralnej odcinka $AB$ . Oznaczając przez $C$ rzut punktu $C$ na prostą $AB$ i przyjmując $x= |AC'|$ , $y = |BC'|$ , $h = |CC'|$ widzimy (rysunek 3), że jeśli $C' \in \overline{AB}|$ , to $a = x-y$ , $c = x+y$ , a jeśli $C' \not \in \overline{AB}|$ to $a = x-y$ , $c = x+y$ . W obu przypadkach $ac = x^2-y^2 = (p^2-h^2)-(b^2-h^2) = p^2-b^2$ . Tak więc, gdy $b= d < p = q$ , rozwiązaniem zadania jest dowolna para liczb $a,\,c$ taka, że $p -b < a < p+b$ , $c = (p^2-b^2)/a$ .

W dalszym ciągu zakładajmy więc, że $p \neq q$ (trapez nie jest równoramienny). Trójkąty $ABC$ i $ABD$ mają wspólną podstawę i równe wysokości, a zatem i równe pola. Wyrażamy te pola przez długości boków, korzystając z wzoru Herona:

$ \begin{split} 16 S^2_{ABC} &= (a+b+p)(-a+b+p)(a-b+p)(a+b-p) = \\ &= ((b+p)^2-a^2)(a^2-(b-p)^2) =\\ &= -a^4+a^2((b+p)^2+(b-p)^2)-(b+p)^2(b-p)^2 =\\ & = -a4+2a^2(b^2+p^2)-(b^2-p^2)^2 \end{split} $

i analogicznie

$ 16 S^2_{ABD}= -a+2a^2(d^2+q^2)-(d^2-q^2)^2. $

Przyrównując prawe strony otrzymanych równości widzimy, że

$ \begin{split} 2a^2(b^2-d^2+p^2-q^2) = (b^2-p^2)^2-(d^2-q^2)^2 =\\ \quad = (b^2-d^2-p^2+ q^2)(b^2-d^2-p^2- q^2). \end{split} $

Gdyby wyrażenie w nawiasie po lewej stronie było zerem, to któryś z czynników prawej strony musiałby być zerem; mielibyśmy więc alternatywę układów równań:

$ \left\{ \begin{split} b^2-d^2+p^2-q^2=0\\ b^2-d^2-p^2+q^2=0 \end{split}\right. \quad \textrm{lub} \quad \left\{ \begin{split} b^2-q^2+p^2-d^2=0\\ b^2-q^2-p^2+d^2=0 \end{split} \right. $

W pierwszym przypadku, dodając i odejmując stronami równania układu, dostajemy $b = d$ i $p = q$ , wbrew uprzedniemu założeniu. W drugim przypadku dostajemy $b = q$ i $d = p$ , co nie jest możliwe (punkty $C$ i $D$ musiałyby się pokrywać). Zatem $b^2-d^2+p^2-q^2 \neq 0$ , skąd

$ a^2 = \frac{(b^2-d^2-p^2+q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2+p^2-q^2)}. $

Lewa strona jest liczbą dodatnią, więc prawa też, tak, że ostatecznie

$ a = \sqrt{\frac{(b^2-d^2-p^2+q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2+p^2-q^2)}}. $

Wartość $c$ znajdujemy zamieniając miejscami $p$ i $q$ w otrzymanym wzorze na $a$ (odpowiada to powtórzeniu przeprowadzonego rozumowania, wychodząc od równości pól trójkątów $CDA$ i $CDB$ , o bokach $c$ , $d$ , $p$ i $c$ , $b$ , $q$ , odpowiednio). Tak więc

$ c = \sqrt{\frac{(b^2-d^2+p^2-q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2-p^2+q^2)}}. $

Uwaga. Ze sformułowania treści zadania wynika milczące założenie, że rozważany trapez w ogóle istnieje. Nie ma więc potrzeby poszukiwania warunków, jakie powinny spełniać wielkości dane $b$ , $d$ , $p$ , $q$ , by znalezione rozwiązanie miało sens geometryczny.