LIX OM - III -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

III

Funkcja $f(x, y, z)$ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c, d, e$ zależność

$ f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e. $

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \dots, x_n$ ( $n \geqslant 5$ ) prawdziwa jest równość

$ f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n . $

Rozwiązanie

Podstawiając $a = b = c = d = e = 0$ w danym w treści zadania warunku dostajemy $f(0, 0, 0) = 0$ .

Niech teraz $s, t, u$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas

$ \begin{split} f (s, t, u)+ f (t, u, 0)+f (u, 0, 0)+f (0, 0,s)+f (0, s, t) &= s +t +u, \\ f (0, t, u)+f (t, u, 0)+f (u, 0, 0)+f (0, 0, 0)+f (0, 0,t) &= t + u. \end{split} $

Odejmując powyższe dwie równości stronami i wykorzystując udowodnioną wcześniej równość $f (0, 0, 0) = 0$ otrzymujemy

$ (1) \qquad f (s, t, u)= s +f (0, 0,t)- f (0, 0,s)+f (0, t, u)- f (0, s, t). $

Wypisując równość (1) dla trójek $(s, t, u)=(x_k ,x_{k+1},x_{k+2})$ dla $k =1, 2,\dots ,n$ (gdzie przyjmujemy
$x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2$ ) i sumując stronami uzyskanych w ten sposób $n$ równości dostajemy tezę zadania.