Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXVI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

I

Znaleźć wzór na sumę

$<br /> \tan x \cdot \tan 2x + \tan 2x \cdot \tan 3x + \ldots + \tan(n-1)x \cdot \tan nx.<br />$

Rozwiązanie

Oznaczmy napisane wyrażenie przez $T_n(x)$ . Aby miało ono sens, liczby $x$ , $2x$ , $\ldots$ , $nx$ muszą należeć do dziedziny funkcji tangens, czyli muszą być spełnione warunki

$<br /> kx \ne \left( m+ \frac{1}{2} \right)\pi \ \textrm{dla} \<br /> k=1,\ldots,n; \ m = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots .<br />$

Przyjmijmy te warunki i załóżmy dodatkowo, że $\tan x \ne 0$ , czyli $x \ne m\pi$ $(m = 0,\pm 1,\pm 2, \ldots)$ . Dla każdej liczby naturalnej $k$ mamy równość

$<br /> \tan x = tan((k+1)x-kx) = \frac{\tan(k+1)x-\tan kx}{1+ \tan kx \cdot \tan (k+1)x},<br />$

skąd wobec zastrzeżenia, że $\tan x \ne 0$ ,

$<br /> 1+\tan kx \cdot \tan (k+1)x =\frac{\tan(k+1)x-\tan kx}{\tan kx}.<br />$

Przyjmując $k = 1, \ldots,n-1$ i dodając stronami $n-1$ otrzymanych równości dostajemy

$<br /> (n-1)+ T_n(x) = \frac{\tan nx - \tan x}{\tan x},<br />$

czyli

$<br /> T_n(x)= \frac{\tan nx}{\tan x} - n.<br />$

Jest to poszukiwany wzór - przy zastrzeżeniu, że $x \ne m \pi$ . Gdy $x = m\pi$ ( $m$ całkowite), to oczywiście $T_n (x) = 0$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/800