XXXVI OM - I - Zadanie 11

Podać przykład wielościanu wypukłego mającego 1985 ścian, wśród których są takie 993 ściany, że żadne dwie z nich nie mają wspólnej krawędzi.

Rozwiązanie

Można bez trudu uzyskać znacznie większą niż liczbę ścian, i to nie ylko bez wspólnych krawędzi, ale w ogóle rozłącznych. Rozważmy w tym celu dowolny wielościan wypukły mający ścian i w wierzchołków; zakładamy przy tym, że żadne dwie ściany nie leżą w jednej płaszczyźnie, czyli że wszystkie kąty dwuścienne są mniejsze od kąta półpełnego. Dokonamy teraz operacji ,,odcięcia wierzchołków'': w pobliżu każdego wierzchołka prowadzimy płaszczyznę przecinającą wszystkie wychodzące z tego wierzchołka krawędzie w punktach odległych od wierzchołka o mniej niż długości krawędzi; płaszczyzną tą odcinamy dany wierzchołek wraz z małym ostrosłupem. W wyniku tej operacji otrzymujemy wielościan wypukły mający ścian, bowiem każda ściana wielościanu , po obcięciu naroży, staje się ścianą wielościanu , a ponadto w miejsce każdego odciętego wierzchołka wielościanu pojawi się dodatkowa ściana wielościanu (podstawa odciętego ostrosłupa). Te ,,nowe'' ściany (a jest ich ) są parami rozłączne.

Chodzi teraz o dobranie wartości i tak, żeby , ; wielościan będzie wtedy jednym z rozwiązań zadania. Weźmy jako wielościan graniastosłup prawidłowy -kątny; ma on wierzchołków i ścian. Dla dostajemy , . Zatem wielościan powstały z przez opisaną wyżej operację ,,odcięcia wierzchołków'' ma ścian, a wśród nich ściany parami rozłączne. Oczywiście spośród tych ścian można w dowolny sposób wybrać ściany parami rozłączne, aby uczynić zadość warunkowi zadania.