XXXVI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1}]. $

Uwaga. $[x]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $x$ .

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej $n > 2$ zachodzi nierówność podwójna

$ (*) \qquad \frac{2}{3}\sqrt{9n-1} < \sqrt{n-1} +\sqrt{n+1} < 2\sqrt{n}. $

Podnosząc wszystkie człony do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną :

$ \frac{4}{9}(9n-1) < 2n + 2\sqrt{n^2-1} < 4n, $

i ta z kolei jest równoważna następującej:

$ n - \frac{2}{9}< \sqrt{n^2-1} < n. $

Prawa część ostatniej nierówności jest oczywista, lewa zaś przez podniesienie do kwadratu przybiera postać równoważną:

$ \frac{4}{9}n - \frac{4}{81} > 1, $

czyli $36n > 85$ , co jest prawdą dla $n > 2$ . Wykazaliśmy więc prawdziwość (*) dla $n > 2$ .

Dodając do nierówności (*) oczywistą nierówność podwójną

$ \frac{1}{3}\sqrt{9n- 1} < \sqrt{n} \leq \sqrt{n} $

otrzymujemy dla $n > 2$

$ (**) \qquad \sqrt{9n- 1} < \sqrt{n-1} +\sqrt{n}+ \sqrt{n+1} <3\sqrt{n}=\sqrt{9n}. $

W przedziale otwartym między liczbami $9n- 1$ i $9n$ nie ma liczby całkowitej; tym bardziej więc nie ma liczby całkowitej między $\sqrt{9n- 1}$ i $\sqrt{9n}$ . Stąd i z (**) dostajemy dla $n > 2$ dowodzoną równość

$ (***) \qquad [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1}+\sqrt{n} + \sqrt{n+1} ]. $

Pozostaje sprawdzić równość (***) dla $n = 1$ i $n = 2$ . Dla $n = 1$ : liczby $\sqrt{8}$ oraz $\sqrt{0}+ \sqrt{1}+ \sqrt{2}$ należą obie do przedziału $(2;3)$ . Dla $n = 2$ : liczby $\sqrt{17}$ oraz $\sqrt{1}+ \sqrt{2} + \sqrt{3}$ należą obie do przedziału $(4;5)$ . Stąd prawdziwość (***) dła wszystkich $n$ naturalnych.