XXXVI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Wewnątrz trójkąta $ABC$ wybrano punkt $P$ . Niech $a, b, c$ będą odpowiednio długościami boków $BC$ , $CA$ , $AB$ , zaś $x, y, z$ odległościami punktu $P$ od wierzchołków $B, C, A$ . Dowieść, że jeżeli

$ \begin{split} x^2 + xy + y^2 &= a^2 \\ y^2 + yz + z^2 &= b^2 \\ z^2 + zx + x^2 &= c^2, \end{split} $

$ a^2 + ab + b^2 > c^2. $

Rozwiązanie

Z pierwszych dwóch równości danych w treści zadania wynika, wobec dodatniości liczb $a$ , $b$ , $x$ , $y$ , $z$ , że $a = \sqrt{x^2+xy+y^2} > \sqrt{x^2} = x$ i podobnie $b > z$ . Stąd, na mocy trzeciej równości, $c^2 = x^2+xz+z^2 < a^2+ +ab+b^2$ , co należało udowodnić.