XXXVI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $n > 2$ liczba $n!$ jest sumą $n$ różnych swoich dzielników.

Rozwiązanie

Dowodzimy przez indukcję tezy nieco mocniejszej: Dla każdej liczby naturalnej $n > 2$ liczba $n!$ jest sumą $n$ różnych swoich dzielników, z których najmniejszy równa się $1$ . Dla $n = 3$ jest to prawda: $3! = 6 = 1+2+3$ . Załóżmy prawdziwość tej tezy dla pewnego $n$ :

$ (*) \qquad n! = k_1+k_2+\ldots +k_n,\ 1 = k_1 < k_2 < \ldots <k_n, $

gdzie liczby naturalne $k$ , są dzielnikami $n!$ , i pomnóżmy napisaną równość stronami przez $n+1$ . Otrzymamy

$ \begin{split} (n+1)! & = (n+1)k_1+(n+1)k_2+\ldots + (n+1)k_n = \\ & = 1+n+(n+1)k_2+ \ldots + (n+1)k_n =\\ & = l_1+l_2+ \ldots + l_{n+1}, \end{split} $

gdzie $l_1 = 1$ , $l_2 = n$ , $l_i = (n+1)k_{i-1}$ dla $i > 2$ . Liczby $l_i$ są dzielnikami $(n+1)!$ i spełniają związki $1 = l_1 < l_2 < \ldots < l_{n+1}$ . To kończy dowód indukcyjny.