XXXVI OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Niech $L$ będzie zbiorem wszystkich łamanych $ABCDA$ , gdzie $A, B, C, D$ są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru $L$ losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $W$ zbiór wszystkich wierzchołków danego wielokąta foremnego. Każdej łamanej ze zbioru $L$ możemy przyporządkować zbiór jej wierzchołków, czyli pewien czteropunktowy podzbiór zbioru $W$ . Na odwrót, każda czwórka punktów z $W$ jest zbiorem wierzchołków dokładnie trzech różnych łamanych ze zbioru $L$ (rysunek 6 przedstawia trzy możliwe sposoby połączenia tych punktów odcinkami); z tych trzech łamanych jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Tak więc wszystkie łamane w zbiorze $L$ można pogrupować w trójki tak, że w każdej trójce jedna i tylko jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem $1/3$ .