XXXVI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

Udowodnić, że jeżeli dla liczb naturalnych $a, b$ liczba $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ jest wymierna, to $a, b$ są sześcianami liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Oznaczmy liczby $\sqrt[3]{a}$ i $\sqrt[3]{b}$ odpowiednio przez $x$ i $y$ , a ich sumę przez $s$ . Należy dowieść, że $x$ , $y$ są liczbami naturalnymi. Z założenia liczba $s = x+y$ jest wymierna. Ponieważ

$<br /> s^3 = x^3-y^3+3x^2y+3xy^2 = a+b+3sxy,<br />$

więc iloczyn $xy$ jest liczbą wymierną. Dalej mamy

$<br /> a-b = x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2+xy) = (x-y) (s^2-xy),<br />$

skąd wobec wymierności liczb $a$ , $b$ , $s$ , $xy$ wnosimy, że różnica $x-y$ jest liczbą wymierną. Skoro i suma i różnica liczb $x$ i $y$ jest wymierna, to obie te liczby są wymierne.

Przedstawmy $x$ w postaci ułamka nieskracalnego $m/n$ . Wówczas także $X^3 = m^3/n^3$ jest ułamkiem nieskracalnym, a ponieważ $x^3 = a$ jest liczbą całkowitą, więc $n = 1$ . To zaś oznacza, że $x$ jest liczbą naturalną. Podobnie dowodzimy, że $y$ jest liczbą naturalną.