XXXVI OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

W przestrzeni dane są różne punkty $A, B, C_0, C_1, C_2$ , przy czym $|AC_i| = 2 |BC_i|$ dla $i = 0,1,2$ oraz $|C_1C_2|=\frac{4}{3}|AB|$ . Dowieść, że kąt $C_1C_0C_2$ , jest prosty i punkty $A, B, C_1, C_2$ leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Dowód oprzemy na następującym twierdzeniu Apoloniusza:

Na płaszczyźnie $\pi$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ ; dana jest ponadto liczba dodatnia $\lambda \ne 1$ . Zbiór punktów $X$ płaszczyzny $\pi$ spełniających warunek $|AX| = \lambda |BX|$ tworzy okrąg, a środek tego okręgu leży na prostej $AB$ .

Dowód tego twierdzenia metodą geometrii analitycznej jest natychmiastowy: można przyjąć, że $A = (-1,0)$ , $B = (1,0)$ ; warunek nałożony na punkt $X = (x,y)$ przyjmuje postać równania

$<br /> (x+1)^2 +y^2 = \lambda^2((x-1)^2+y^2),<br />$

po prostych przekształceniach

$<br /> (x-a)^2+y^2 = r^2,<br />$

gdzie $a = (\lambda^2+1)/(\lambda^2-1)$ , $r^2 = a^2-1$ ; stąd teza.

Okrąg, o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nosi nazwę okręgu Apoloniusza (dla punktów $A$ , $B$ i stosunku $\lambda$ ). Czytelników zainteresowanych innymi dowodami tego twierdzenia oraz informacjami o zagadnieniach wiązanych z okręgiem Apoloniusza odsyłamy do artykułu Jerzego Bednarczuka w miesięczniku Delta, nr 7/1985.

Przenosząc rozważania do przestrzeni, zauważmy, że przez obrót płaszczyzny $\pi$ wokół prostej $AB$ otrzymujemy przestrzenną wersję omawianego twierdzenia:

Zbiór punktów $X$ spełniających warunek $|AX| = \lambda |BX|$ tworzy sferę, a jej środek leży na prostej $AB$ ( $A$ , $B$ - dane punkty, $\lambda$ - dana liczba, $\lambda > 0$ , $\lambda \ne 1$ ).

Sferę tę będziemy nazywali sferą Apoloniusza (dla punktów $A$ , $B$ stosunku $\lambda$ ).

Rozwiązanie zadania jest teraz bardzo proste. Oznaczając przez $S$ sferę Apoloniusza dla danych w zadaniu punktów $A$ , $B$ i stosunku $\lambda = 2$ widzimy, że $_i \in S (i = 0,1,2)$ . Do sfery $S$ należą w szczególności dwa punkty prostej $AB$ : punkt $P \in \overline{AB}$ taki, że $|BP| = \frac{1}{3} |AB|$ oraz punkt $Q \ne A$ taki, że $|BQ| = |AB|$ (rysunek 7); ich odległość wynosi $\frac{4}{3} |AB|$ , a ponieważ środek $S$ leży na prostej $AB$ , więc $\overline{PQ}$ jest średnicą sfery $S$ . Wobec tego średnica $S$ równa się $\frac{4}{3} |AB|$ (można to było wywnioskować również z wzoru analitycznego otrzymanego w dowodzie twierdzenia Apoloniusza). Stąd wynika, że również odcinek $\overline{C_1C_2}$ musi być średnicą sfery $S$ . Kąt $C_1C_0C_2$ jest prosty, bo $C_0 \in S$ . Proste $AB$ oraz $C_1C_2$ przecinają się (w środku sfery $S$ ), zatem punkty $A$ , $B$ , $C_1$ , $C_2$ są współpłaszczyznowe.