XXXVI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

III

Dany jest kwadrat o boku długości 1 oraz liczby dodatnie $a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n$ nie większe od 1 takie, że $a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100$ . Udowodnić, że można pokryć ten kwadrat prostokątami $P_i$ ( $i = 1,2,\ldots,n$ ) o bokach długości $a_i, b_i$ równoległych do boków kwadratu.

Rozwiązanie

Niech $AB$ będzie podstawą kwadratu. Możemy założyć, że $1 \geq a_x \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$ . Na półprostej $AB^\to$ odkładamy kolejno odcinki o długości $b_1, b_2, \ldots ,b_k$ aż do przekroczenia punktu $B$ , nad każdym kolejnym odcinkiem długości $b_i$ ; budujemy prostokąt, którego drugi bok ma długość $a_i$ . Otrzymamy w ten sposób warstwę prostokątów, których suma pól $S_1$ spełnia nierówność

$ S_1 \leq 2a_1. $

Następnie prowadzimy prostą równoległą do $AB$ odległą od niej o $a_k$ przecinającą boki kwadratu w punktach $A_1$ , $B_1$ i na niej budujemy kolejną warstwę prostokątów: odkładamy na półprostej $A_1B_1^\to$ kolejno odcinki długości $b_{k+1}, b_{k+2}, \ldots b_r$ aż do przekroczenia punktu $B_1$ , nad każdym kolejnym odcinkiem długości $b_i$ budujemy prostokąt, którego drugi bok ma długość $a_i$ . Suma $S_2$ pól prostokątów tej warstwy spełnia nierówność

$ S_2 \leq 2a_{k+1} \leq 2a_k. $

Kontynuujemy to postępowanie aż do wyczerpania wszystkich liczb $a_1b_1, \ldots a_nb_n$ . Przypuśćmy, że w wyniku takiego postępowania nie pokryjemy całego kwadratu. Wobec tego

$ (1) \qquad a_k+a_r+\ldots <2. $

Z drugiej strony

$ S_1+ S_2+\ldots = a_1b_1+a_2b_2+ \ldots +a_nb_n \geq 100, $

ale

$ S_1+S_2+\ldots \leq 2a_1+2a_k+2a_r+ \ldots . $

Mamy więc

$ 2(a_1+a_k+a_r+\ldots) \geq100 $

wbrew nierówności (1). Wobec tego podany tu sposób układania prostokątów prowadzi do pokrycia danego kwadratu.

Uwaga. Liczbę $100$ podaną w treści zadania można zastąpić przez liczbę mniejszą. Przytoczone tu rozwiązanie funkcjonuje, gdy $a_1b_1+a_2b_2+ \ldots +a_nb_n \geq 6$ .