XXXVI OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełnia dla każdego $x \in \mathbb{R}$ równość $f(3x) = 3f(x) — 4(f(x))^3$ i jest ciągła w punkcie 0, to wszystkie jej wartości należą do przedziału $\langle -1;1\rangle$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Jeżeli $|f(x)| \leq 1$ , to $|f(3x)| \leq 1$ .
Dowód.
Jeśli $|f(x)| \leq 1$ , to dla pewnego $y$ jest $f(x) = \sin y$ . Wobec tego $f(3x) = 3 \sin y - (sin y)^3 = \sin 3y$ , skąd wynika, że $|f(3x)| \leq 1$ .

Obliczmy $f(0)$ . Podstawiając w danym wzorze $x = 0$ otrzymamy $f(0) = 3f(0)-4(f(0))^3$ , skąd $4(f(0))^3 = 2f(0)$ , więc $f(0) = 0$ lub $f(0) = 1/ \sqrt{2}$ lub $f(0) = - 1/\sqrt{2}$ . W każdym przypadku $|f(0)| < 1$ . Z ciągłości funkcji $f$ w punkcie $0$ wynika, że istnieje takie otoczenie $(-d;d)$ punktu $0$ , że dla $x$ należących do tego otoczenia jest $|f(x)| < 1$ . Dla każdej liczby rzeczywistej $t$ istnieje liczba naturalna $n$ , dla której $t/3^n \in (-d;d)$ . Zatem $f(t/3^n)| \leq 1$ , zaś na podstawie lematu $|f(t/3^{n-1})| = \left| f\left(3 \cot \frac{t}{3^n} \right)\right| \leq 1$ , $|f(t/3^{n-2})| = \left| f\left(3 \cot \frac{t}{3^{n-1}} \right)\right| \leq 1$ L itd., wreszcie $|f(t)| \leq 1$ .

Wobec tego wszystkie wartości funkcji $f$ należą do przedziału $[-1; 1]$ .