XXXVI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

III

Wewnątrz trójkąta $ABC$ dany jest punkt odległy odpowiednio o $d_a, d_b, d_c$ od prostych $BC, CA, AB$ . Niech $r$ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Udowodnić, że

$ \frac{}{\frac{1}{d_a} + \frac{1}{d_b} + \frac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c) $

Rozwiązanie

Pole trójkąta $ABC$ można przedstawić jako sumę pól trzech trójkątów, których wspólnym wierzchołkiem jest dany punkt, podstawami zaś są kolejne boki $AB$ , $BC$ , $CA$ . Jeżeli długości tych boków wynoszą odpowiednio $c$ , $a$ , $b$ , to

$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}(a \cdot d_a + b \cdot d_b+c \cdot d_c). $

Z drugiej strony to samo pole równe jest $\frac{1}{2} r(a+b+c)$ , więc

$ r(a+b+c) = a \cdot d_a+b \cdot d_b+c \cdot d_c. $

Przypuśćmy, że $a \leq b$ , $a \leq c$ (w przeciwnym razie zamiast $a$ wzięlibyśmy maksymalną z liczb $a$ , $b$ , $c$ ). Zatem

$ r(a+b+c) = a \cdot d_a+b \cdot d_b+c \cdot d_c < a(d_a+d_b+d_c), $

$ r\leq \frac{a}{(d_a+d_b+d_c)}. $

Długości boków trójkąta spełniają nierówność $a < b+c$ , więc $\frac{a}{a+b+c} < \frac{1}{2}$ . Otrzymujemy stąd nierówność $r < \frac{1}{2} (d_a+d_b+d_c)$ .

Dla dowodu pozostałej nierówności poprowadźmy w trójkącie $ABC$ odcinki łączące środek $O$ koła wpisanego z punktami styczności tego koła z poszczególnymi bokami. Powstaną w ten sposób trzy deltoidy pokrywające trójkąt. Przypuśćmy, że dany punkt $P$ należy do deltoidu, którego jednym z wierzchołków jest punkt $A$ (w innym przypadku rozumowanie jest analogiczne). Jeśli odcinek $AP$ tworzy kąty $\alpha$ i $\beta$ odpowiednio z bokami $AB$ i $AC$ , to $d_c = |AP| \sin \alpha \leq |AO| \sin \alpha$ , $d_b = |AP| \sin \beta \leq |AO| \sin \beta d_c + d_b \leq |AO| (\sin \alpha+\sin \beta) - 2|AO| \sin \frac{\alpha}{\beta} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} < 2|AO| \sin \frac{\alpha}{\beta} =2r$ .
Wobec tego

$ \begin{split} \frac{2}{\frac{1}{d_c} + \frac{1}{d_b}} = \frac{2d_bd_c}{d_b+d_c} = \frac{(d_b+d_c)^2-(d_b-d_c)^2}{2(d_b+d_c)} = \frac{d_b+d_c}{2} - \frac{(d_b+d_c)^2}{2(d_b+d_c)} \leq \frac{d_b+d_c}{2} < r. \end{split} $

Ponieważ oczywiście

$ \frac{2}{\frac{1}{d_a}+\frac{1}{d_b}+\frac{1}{d_c}} < \frac{2}{\frac{1}{d_c} + \frac{1}{d_b}}, $

więc

$ \frac{1}{\frac{1}{d_a}+\frac{1}{d_b}+\frac{1}{d_c}} < r $