XXXVI OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

III

Niech $P$ będzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej $t$ zachodzi równość $P(\cos t, \sin t) = 0$ . Dowieść, że istnieje taki wielomian $Q$ , że ma miejsce tożsamość

$ P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y). $

Rozwiązanie

Uporządkujmy wielomian $P(x,y)$ względem malejących potęg zmiennej $x$ . $P(x,y) = P_n(y) \cdot x_n+P_{n-1}(y) \cdot x^{n-1} + \ldots +P_1 (y) \cdot x+ P_0(y)$ , gdzie $P_n, P_{n-1}, \ldots, P_1, P_0$ są wielomianami zmiennej $y$ . Traktując $y$ jako pewną wartość ustaloną możemy obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu $P$ przez wielomian $x^2+y^2-1$ (traktowany jako wielomian zmiennej $x$ ).

Otrzymamy

$ P(x,y) = [Q_{n-2}(y)x^{n-2}+ \ldots +Q_0(y)] \cdot (x^2+y^2-1)+R_1(y)\cdot x R_0(y), $

gdzie $Q_i$ , $R_j$ są wielomianami zmiennej $y$ . Podstawiając w powyższej równości $x = \cos t$ , $y = \sin t$ otrzymamy

$ P(\cos t, \sin r) = R_1 (\sin t) \cos t+R_0 (\sin r), $

gdyż $\cos^2t+\sin^2t-1 = 0$ dla każdego $t$ . Wobec założenia o wielomianie $P$ mamy więc

$ R_1(\sin t) \cdot \cos t + R_0(\sin t) = 0 $

dla każdego rzeczywistego $t$ . Podstawiając w miejsce $t$ liczbę $\pi-t$ otrzymamy

$ R_1(\sin t) \cdot (-\cos t)+R_0(\sin t) = 0, $

skąd po dodaniu do poprzedniego równania otrzymamy $R_0(\sin t) = 0$ . Wielomian $R_0$ przyjmuje wartość $0$ dla nieskończenie wielu argumentów, gdyż $\sin t$ może być dowolną liczbą z przedziału $\langle -1 ;1 \rangle$ . Wynika stąd, że $R_0$ jest wielomianem zerowym. Mamy więc $R_1(\sin t) \cdot \cos t =0$ dla każdego $t$ , skąd analogicznie wnioskujemy, że $R_1$ jest wielomianem zerowym. Wobec tego $P(x,y) = Q(x,y)(x^2+y^2-1)$ , gdzie $Q(x,y) = Q_{n-2}(y)x^{n-2}+\ldots +Q_n(y)$ .