XXXVI OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli w wielościanie wypukłym mającym $k$ ścian istnieje więcej niż $k/2$ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi, to w wielościan ten nie można wpisać kuli.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że można wpisać kulę w dany wielościan. Niech $S_1,\ldots, S_k$ będą ścianami wielościanu, $P_1,\ldots ,P_k$ punktami styczności odpowiednich ścian z kulą. Jeżeli $A$ , $B$ są wspólnymi wierzchołkami ścian $S_i$ , $S_j$ , to trójkąty $ABP_i$ , i $ABP_j$ są przystające (odcinki $AP_i$ i $\overline{AP_j}$ stycznych do kuli poprowadzonych z punktu $A$ mają równe długości, podobnie $|BP_i= |BP_j|$ ). W ten sposób kąt pełny o wierzchołku $P_i$ położony na ścianie $S_i$ można przedstawić jako sumę odpowiednich kątów położonych na ścianach mających z $S_i$ wspólną krawędź. Suma miar kątów wyznaczonych w ten sposób na wszystkich ścianach wynosi $k \cdot 2\pi$ . W myśl założenia istnieje więcej niż $k/2$ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi. Oczywiście suma miar kątów o środkach w punktach styczności tych ścian z kulą wynosi więcej niż $k\pi$ . Każdy z tych kątów równy jest odpowiedniemu kątowi na jednej z pozostałych ścian. Ale tych pozostałych ścian jest mniej niż $k/2$ , więc suma miar rozważanych na nich kątów jest mniejsza od $k\pi$ . Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem w taki wielościan nie można wpisać kuli.

Uwaga. Istnienie wielościanów spełniających taki warunek wykazaliśmy w zadaniu 11 z zawodów stopnia pierwszego.