LIX OM - III -Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

III

Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało albo na czarno. Dowieść, że ze zbioru w
szystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty
mają ten sam kolor.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że teza zadania jest fałszywa.

Rozpatrzmy symetrię środkową względem punktu $(0,0)$ . Ponieważ nie istnieje nieskończony zbiór symetryczny względem
tego punktu i złożony z punktów jednego koloru, więc tylko skończenie wiele punktów o obu współrzędnych całkowitych
przechodzi przy tej symetrii na punkty tego samego koloru. Wobec tego istnieje taka liczba całkowita $M$ , że dla każdego
punktu o współrzędnych całkowitych $(x,y)$ , przy czym $|y| >M$ , punkty $(-x,-y)$ i $(x,y)$ mają różne kolory.

Rozważając analogicznie symetrię środkową względem punktu $(\frac{1}{2},0)$ widzimy, że istnieje taka liczba całkowita $N$ ,
że dla każdego punktu o współrzędnych całkowitych $(x,y)$ , przy czym $|y|>N$ , punkt $(x,y)$ ma inny kolor niż jego obraz
przez rozpatrywaną symetrię, czyli punkt $(-x+1,-y)$ .

Przyjmijmy $k =\max\{M,N\}+1$ i rozpatrzmy dowolną liczbę całkowitą $s$ . Wówczas punkt $(s,k)$ przy symetrii względem
punktu $(0,0)$ przechodzi na punkt $(-s,-k)$ , który jest przeciwnego koloru niż punkt $(s,k)$ . Ponadto punkt $(-s,-k)$
przy symetrii względem punktu $(\frac{1}{2}, 0)$ przechodzi na punkt $(s +1,k)$ , który jest przeciwnego koloru niż punkt $(-s,-k)$ .
Wobec tego punkty $(s,k)$ i $(s+1,k)$ mają jednakowy kolor. Ponieważ $s$ było dowolną liczbą całkowitą, więc wynika stąd,
że wszystkie punkty o pierwszej współrzędnej całkowitej i drugiej współrzędnej równej $k$ mają ten sam kolor.
Jednakże punkty te tworzą nieskończony zbiór, którego środkiem symetrii jest punkt $(0,k)$ .
Otrzymana sprzeczność z założeniem nie wprost kończy rozwiązanie.