XXXV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Rozstrzygnąć, czy sześciokąt foremny można pokryć sześcioma kołami o średnicy równej długości boku sześciokąta.

Rozwiązanie

Żądane pokrycie otrzymamy biorąc koła, których średnicami są odcinki łączące środek sześciokąta z poszczególnymi wierzchołkami. Koło mające średnicę $\overline{AO}$ , gdzie $A$ jest wierzchołkiem sześciokąta, zawiera połowy boków stykających się w wierzchołku $A$ . Wynika to stąd, że środek $M$ boku $\overline{AB}$ leży na symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , więc $\measuredangle AMO = 90^\circ$ i wobec tego punkt $M$ leży na okręgu o średnicy $\overline{AO}$ . Zatem każdy punkt sześciokąta należy do co najmniej jednego z kół, których średnicami są kolejno odcinki $\overline{AO}$ , $\overline{BO}$ , $\overline{CO}$ , $\overline{DO}$ , $\overline{EO}$ , $\overline{FO}$ .