XXXV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru $a$ , dla których układ równań

$ \begin{split} x + y + z &= 2,\\ xy + yz +zx &= 1,\\ xyz &= a. \end{split} $

ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Liczby rzeczywiste $x$ , $y$ , $z$ stanowią rozwiązanie danego układu równań wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są pierwiastkami wielomianu

$ f(f) = t^3-2t^2+t-a. $

Istotnie, liczby $x$ , $y$ , $z$ są pierwiastkami wielomianu $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$ t^3-2t^2+t-a = (t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - (x + y + z) t^2 +(xy + yz + zx) t - xyz, $

a więc wtedy i tylko wtedy, gdy

$ -2 = -(x+y + z) $

$ 1 = xy +yz +zx $

$ - a = -xyz. $

Wobec tego pytanie postawione w zadaniu sprowadza się do tego, dla jakich wartości $a$ wielomian $f$ ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście $\displaystyle \lim_{t \to - \infty} f(t) = - \infty$ , $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty$ . Wyznaczymy punkty, w których funkcja $f$ ma ekstrema. Pochodną tej funkcji jest

$ f'(t) = 3t^2-4r +1. $

Miejscami zerowymi pochodnej są $t_1 = \frac{1}{3}$ , $t_2 = 1$ . Przyjmuje ona między tymi miejscami zerowymi wartości ujemne, skąd wynika, że przechodząc przez $t_1$ zmienia wartości z dodatnich na ujemne. Wobec tego w punkcie $t_1$ funkcja $f$ przyjmuje maksimum, a w $t_2$ - minimum. Wynika stąd, że na to, by wielomian $f$ miał trzy pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami) potrzeba i wystarcza, by $f(t_1) \geq 0$ , $f(t_2) \leq 0$ , tj.

$ \left\{ \begin{array}{rcl} \left( \frac{1}{3} \right)^3 - 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{3} - a \geq 0\\ -a \leq 0 \end{array} \right. $

czyli

$ 0 \leq a \leq \frac{4}{27}. $

Dany układ równań ma więc rozwiązania w liczbach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $a \in \left[ 0;\ \frac{4}{27} \right]$ .