XXXV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Wyznaczyć wszystkie wartości $p, q$ , dla których nierówność

$<br /> |\sqrt{1-x^2} - px - q| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)<br />$

zachodzi dla każdego $x$ z przedziału $[0; 1]$ .

Rozwiązanie

Szukamy takich funkcji liniowych $f(x) = px + q$ , że dla każdego $x_0$ z przedziału $[0; 1]$ wartość $f(x_0)$ różni się od wartości funkcji $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ w punkcie $x_0$ nie więcej niż o $\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)$ . Pokażemy najpierw, że funkcja $f(x) = - x+\frac{1}{2}(\sqrt{2} +1)$ spełnia ten warunek.

Funkcja $h(x) = \sqrt{1-x^2} + x- \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)$ przyjmuje na końcach przedziału $[0; 1]$ wartości równe $g(0)-f(0) = g (1)-f(1) = -\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)$ . Funkcja ta jest różniczkowania w przedziale $(0;1)$ i jej pochodna jest równa $h'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ . Jedynym miejscem zerowym pochodnej w przedziale $(0; 1)$ jest $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , w tym punkcie funkcja $h$ przyjmuje maksimum równe $\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)$ . Wynika stąd, że dla każdego $x \in [0; 1]$ jest spełniona nierówność

$<br /> \left| \sqrt{1-x^2} + x -\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1) \right| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1).<br />$

Pokażemy, że liczby $p = -1$ , $q = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)$ stanowią jedyne rozwiązanie zadania.

Przypuśćmy, że para liczb $(p_1, q_1)$ różna od pary $(p, q)$ jest również rozwiązaniem zadania. Rozważmy prostą $l_1$ o równaniu $y = p_1 x + q_1$ . Z przeprowadzonych wyżej rachunków wynika, że punkt $(0, q_1)$ leży na osi $OY$ nie wyżej niż punkt $(0, q)$ , podobnie punkt $(1, p_1+q_1)$ leży na prostej o równaniu $x = 1$ nie wyżej niż punkt $(1,p + q)$ . Ponieważ proste o równaniach $y= px + q$ , $y = p_1 x + q_1$ nie mogą się pokrywać, więc punkt $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p_1 + q_1 \right)$ leży poniżej punktu $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p + q \right)$ . Ponieważ punkt $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p + q \right)$ leży pod wykresem funkcji $g$ w odległości $\frac{1}{2}(\sqrt{2} -1)$ od punktu $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)$ , więc odległość punktu $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p_1 + q_1 \right)$ od $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)$ przekracza $\frac{1}{2} (\sqrt{2}-1)$ .

Wynika stąd, że żadna para liczb $(p_1, q_1)$ różna od $(p, q)$ nie spełnia warunków zadania. Jedynym rozwiązaniem jest więc $p=-1$ , $q=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)$ .