XXXV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $5^n$ , której zapis w układzie dziesiętnym składa się $n$ cyfr różnych od zera.

Rozwiązanie

Liczba $5^n$ ma w zapisie dziesiętnym nie więcej niż $n$ cyfr: $5^n = c_0+c_1 \cdot 10 + c_2 \cdot 10^2+ \ldots +c_{n-1} \cdot 10^{n-1}$ , przy czym niektóre cyfry $c_i$ mogą być zerami. Przypuśćmy, że $k$ jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której $c_k = 0$ . Rozważmy liczbę $5^{n} +10^{k} \cdot 5^{n-k}$ . Liczba ta ma w zapisie dziesiętnym postać $c_0+c_1 \cdot 10 + \ldots + c_{k-1} \cdot 10^{k-1} + 5 \cdot 10^{k} + \ldots$ , gdzie $c_i \ne 0$ dla $i \leq k$ . Jeśli któraś z dalszych cyfr tej liczby jest równa zeru, np. $c_r = 0$ przy pewnym $r > k$ , ale $c_j \ne 0$ dla $j < r$ , to rozważamy liczbę $5^{n} +10^{k} \cdot 5^{n-k} +10^{r} \cdot 5^{n-r}$ , która w zapisie dziesiętnym ma $r + 1$ kolejnych cyfr różnych od zera.

W wyniku takich operacji otrzymamy liczbę, w której zapisie dziesiętnym niezerowe są cyfry odpowiadające rzędom $1$ , $10$ , $10^2$ , $10^{n-1}$ . Ponadto liczba ta nie przekracza $5^{n} + 10 \cdot 5^{n-t} +10^2 \cdot 5^{n-2} + \ldots +10^{n-t} \cdot 5 =5^{n} + 2 \cdot 5^{n} + 2^2 \cdot 5^n+ \ldots +2^{n-1} \cdot 5^{n} = 5^n(1 +2 + 2^2+ \ldots + 2^{n-1}) = 5^{n}(2^{n}-1) < 10^{n}$ .

Jest to więc liczba mająca w zapisie dziesiętnym dokładnie $n$ cyfr różnych od zera. Jest ona przy tym wielokrotnością liczby $5^{n}$ , gdyż powstaje przez dodanie do $5^{n}$ składników postaci $10^{k} \cdot 5^{n-k} = 5^{n} \cdot 2^{k}$ , które są wielokrotnościami liczby $5^{n}$ .