XXXV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} \frac{x+y}{1+xy} &= \frac{2a}{1+a^2}, \\ \frac{x-y}{1-xy} &= \frac{2b}{1+b^2}. \end{cases} $

Rozwiązanie

Jeśli para liczb $(x,y)$ jest rozwiązaniem tego układu, to $xy \ne 1$ , $xy \ne -1$ . Rozpatrzmy kilka najprostszych przypadków.

Jeśli $x = 1$ , to równania przybierają postać

$ \frac{1+y}{1+y} = \frac{2a}{1+a^2}, \frac{1-y}{1-y}= \frac{2b}{1+b^2} $

są więc w przypadku, gdy $a = b = 1$ spełnione przez każdą liczbę $y$ różną od $1$ , $- 1$ , a dla innych $a$ , $b$ nie mają rozwiązań.

Podobnie stwierdzamy, że jeśli $y = 1$ , to musi być $a = 1$ , $b = - 1$ i wtedy $x$ może przybierać dowolną wartość różną od $1$ , $-1$ . Następnie $x = - 1$ jedynie dla $a = - 1$ , $b = - 1$ i wówczas $y$ może być dowolną liczbą $\ne 1$ , $- 1$ , natomiast $y = - 1$ dla $a = - 1$ , $b = 1$ i wtedy $x$ jest dowolne różne od $1$ , $- 1$ .

W przypadku $a = b \ne 1$ lub $ab = 1$ , $a \ne 1$ , $-1$ jest $x=\frac{2a}{1+a^2}$ , $y = 0$ , w przypadku $a = - b \ne 1$ , $- 1$ lub $ab = - 1$ , $a \ne 1$ , $- 1$ jest $x = 0$ , $y = \frac{2a}{1+a^2}$ .

Możemy teraz szukać rozwiązań w innych przypadkach zakładając, że $x \ne 1$ , $x \ne -1$ , $y \ne 1$ , $y \ne - 1$ , $xy \ne 1$ , $xy \ne - 1$ , $a \ne b$ , $a \ne - b$ , $ab \ne 1$ , $ab \ne -1$ .

Dany układ równań przekształćmy do równoważnej postaci

$ \begin{split} (1) \qquad x + y & = \frac{2a}{1+a^2} (1+xy)\\ x - y & = \frac{2b}{1+b^2} (1-xy) \end{split} $

Dodając do obu stron pierwszego równania wyrażenie $1 + xy$ otrzymamy

$ \begin{split} (2) \qquad x + y + 1 + xy & = \left( \frac{2a}{1+a^2} +1 \right) (1+xy)\\ (1+x)(1+y) & = \frac{(1+a)^2}{1+a^2} (1+xy). \end{split} $

Odejmując obie strony pierwszego równania układu (1) od $1 +xy$ otrzymamy

$ \begin{split} (3) \qquad 1 + xy -x -y & = (1+xy) \left( 1 - \frac{2a}{1+a^2} \right) \\ (1-x)(1-y) & = (1+xy) \frac{(1-a)^2}{1+a^2} . \end{split} $

Obie strony równania (3) są różne od zera, możemy więc podzielić stronami (2) przez (3)

$ \frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)} = \left( \frac{1+a}{1-a} \right)^2. $

Postępując analogicznie z drugim równaniem układu (1) otrzymamy

$ \frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)} = \left( \frac{1+b}{1-b} \right)^2. $

Pomnóżmy teraz dwa ostatnie równania stronami

$ \left( \frac{(1+x)}{(1-x)} \right)^2 = \left( \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)} \right)^2. $

więc

$ \frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)} \ \textrm{lub} \ \frac{1+x}{1-x} = - \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)} $

Z pierwszego z tych równań obliczamy

$ \begin{split} (1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)x = (1 + a)(1+b)-(1 + a)(1+b)x,\\ (1-a-b+ab + 1+a+b+ab)x = 1+a+b+ab-1+a + b-ab,\\ (2 + 2ab)x = 2a + 2b,\\ x_1 = \frac{a+b}{1+ab}. \end{split} $

i podobnie z drugiego równania

$ x_2 = \frac{1+ab}{a+b}. $

Podstawiając $x_1$ do pierwszego z równań układu (1) otrzymamy

$ \begin{split} \frac{a+b}{1+ab} + y = \frac{2a}{1+a^2} \left( 1 + \frac{a+b}{1+ab}y \right),\\ \left( 1-\frac{2a}{1+a^2} \cdot \frac{a+b}{1+ab}y \right) = \frac{2a}{1+a^2} - \frac{a+b}{1+ab}\\ \frac{1 +a^2 +ab+a^3b-2a^2-2ab}{(1+a^2)(1+ab)}y = \frac{2a + 2a^2b-a-b-a^3-a^2b}{(1 +a^2)(1 +ab)} \\ \frac{(1-a^2)(1-ab)}{(1+a^2)(1+ab)} y = \frac{(a-b)(1-a^2)}{(1+a^2)(1+ab)} \\ y_1 = \frac{a-b}{1-ab} \end{split} $

Podobnie podstawiając $x_2$ do pierwszego równania układu (1) obliczamy

$ y_2 = \frac{1-ab}{a-b} $