XXXV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych $m, p$ większych od 1 spełniona jest nierówność

$ \sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1)\cdot\sqrt[p]{k}} < p. $

Rozwiązanie

Oszacujemy $k$ -ty składnik rozważanej sumy:

$ \begin{split} \frac{1}{(k+1) \cdot \sqrt[p]{k}} = \frac{1}{\sqrt[p]{k}} \left( \frac{k}{k} - \frac{k}{k+1}\right)=\\ = k^{1-\frac{1}{p}} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = k^{1-\frac{1}{p}} ((k^{-\frac{1}{p}})^p - ((k+1)^{-\frac{1}{p}})^p) =\\ k^{1-\frac{1}{p}} (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} k^{-\frac{j}{p}} (k+1)^{-\frac{p-1-j}{p}} =\\ = (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^-{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} k^{\frac{p-1-j}{p}} (k+1)^{-\frac{p-1-j}{p}}=\\ (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{\frac{p-j-1}{p}} < (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}})p, \end{split} $

gdyż suma występująca przed znakiem nierówności ma $p$ składników, z których każdy jest mniejszy od $1$ . Wobec tego

$ \begin{split} \sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1) \sqrt[p]{k}} < \sum_{k=1}^m (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) p = p(1^{-\frac{1}{p}} - 2^{-\frac{1}{p}} + 2^{-\frac{1}{p}} -3^{-\frac{1}{p}} + \ldots \\ + m^{-\frac{1}{p}} - (m+1)^{-\frac{1}{p}}) = p(1^{-\frac{1}{p}} - (m+1)^{-\frac{1}{p}}) = p \left( 1 - \frac{1}{\sqrt[p]{m+1}}\right) < p \end{split} $