XXXV OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Niech $n$ będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnić, że czworokąt można podzielić na $n$ trójkątów, których wierzchołki leżą w wierzchołkach czworokąta albo wewnątrz czworokąta, a bok każdego trójkąta jest albo bokiem czworokąta, albo bokiem innego trójkąta.

Rozwiązanie

Co najmniej jedna przekątna czworokąta jest zawarta w jego wnętrzu. Niech będzie to np. przekątna $\overline{AC}$ . Jeśli $n = 2$ , to podział czworokąta $ABCD$ na trójkąty $ABC$ i $ACD$ jest żądanym podziałem. Przypuśćmy, że $n = 2k$ jest liczbą parzystą. Obierzmy na przekątnej $AC$ dowolne punkty $A_1,\ldots,A_{k-1}$ leżące na niej w kolejności zgodnej z numeracją i różne od $A$ i $C$ . Przyjmijmy dodatkowo $A_0 = A$ , $A_k = C$ . Podział czworokąta $ABCD$ na trójkąty $A_{i-1}BA_i$ oraz $A_{i-1}DA_i$ , $i = 1,\ldots, k$ spełnia postawione warunki.