XXXV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Trzy zdarzenia spełniają warunki:
a) ich prawdopodobieństwa są równe,
b) każde dwa spośród nich są niezależne,
c) nie zachodzą równocześnie.
Wyznaczyć największą wartość prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $A$ , $B$ , $C$ są tymi zdarzeniami, przy czym prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi $p$ . Wobec założenia o niezależności każdych dwóch spośród rozważanych zdarzeń, prawdopodobieństwo każdej części wspólnej $A \cap B$ , $B \cap C$ , $C \cap A$ wynosi $p^2$ . Ponadto $A \cap B \cap C \ne 0$ . Wobec tego

$<br /> P(A \cup B \cup C) = 3p-3p^2.<br />$

Ponieważ oczywiście $P (A \cup B \cup C) \geq P (A \cap B) +P (B \cap C) +P (C \cap A) = 3p^2$ , więc $3p-3p^2 \geq 3p^2$ , skąd wynika, że $p \leq \frac{1}{2}$ .

Wartość $p = \frac{1}{2}$ jest przyjmowana np. przez następujące zdarzenia. Przy dwukrotnym rzucie monetą przyjmujemy jako $A$ zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wypadła reszka, $B$ - w drugim rzucie wypadł orzeł, $C$ - w obu rzutach wypadło to samo. Oczywiście $P(A) = P(B) = P (C) = \frac{1}{2}$ , zdarzenia $A$ , $B$ , $C$ są parami niezależne i nie mogą zachodzić jednocześnie.

Wobec tego największą wartością rozważanego prawdopodobieństwa jest $\frac{1}{2}$ .