XXXV OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Podać wzory wyraźne na $n$ -ty wyraz ciągów określonych wzorami rekurencyjnymi:

$ \begin{split} a_{n+1} &= 3a_n + b_n, \\ b_{n+1} &= -a_n + b_n, \\ a_1 = 14, &\; b_1 = -6. \end{split} $

Rozwiązanie

Rozważmy ciąg $(c_n)$ określony wzorem

$ c_n = a_n + b_n. $

Ponieważ $c_{n+1} = a_{n+1}+b_{n+1} = 3a_n + b_n - a_n +b_n = 2a_n + 2b_n = 2c_n$ , więc ciąg $(c_n)$ określony jest wzorem rekurencyjnym

$ c_{n + 1} = 2c_n,\ c_1 = 14-6 = 8 = 2^3 $

Przez indukcję stwierdzamy, że $c_n = 2^{n + 2}$ .

Ponieważ $b_n = c_n-a_n = 2^{n+2} -a_n$ , więc

$ a_{n+1} = 3a_n + b_n = 3a_n + 2^{n+2} - a_n = 2a_n + 2^{n + 2}. $

Z ostatniego wzoru wynika, że kolejne wyrazy ciągu $(a_n)$ dzielą się przez kolejne potęgi dwójki. Przyjmując

$ a_n = 2^nx_n. $

otrzymujemy $2^{n+1}x_{n+1} = 2^{n + 1}x_n + 2^{n+ 2}$ , więc $x_{n +1} =x_n + 2$ , $x_1 = 7$ . Stąd przez oczywistą indukcję wynika, że $x_n = 2n + 5$ . Wobec tego $a_n = 2^n(2n + 5)$ , $b_n = 2^{n + 2}-2^n(2n + 5) = 2^n(4-2n-5) = -2^n(2n + 1)$ .