XXXV OM - I - Zadanie 12

W kącie trójściennym zawarta jest półprosta przechodząca przez jego wierzchołek. Dowieść, że suma kątów utworzonych przez z krawędziami nie przekracza sumy kątów płaskich .

Rozwiązanie

Rozważmy kulę o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta trójściennego. Miara każdego kąta płaskiego, którego ramionami są półproste o początku w środku kuli, równa jest długości odpowiedniego łuku koła wielkiego (krótszego z dwóch łuków wyznaczonych przez punkty przecięcia danych półprostych z powierzchnią kuli). Wszystkie łuki na powierzchni kuli, o których będziemy mówić w trakcie tego rozwiązania, będą łukami odpowiednich kół wielkich.


Suma miar kątów płaskich kąta trójściennego równa jest sumie długości łuków , i , których końce są punktami wspólnymi krawędzi kąta trójściennego i powierzchni kuli. Suma miar kątów utworzonych przez z krawędziami kąta trójściennego równa jest sumie długości łuków , i , gdzie jest punktem wspólnym półprostej i powierzchni kuli.

Długość łuku (zgodnie z przyjętą umową - łuku koła wielkiego) łączącego dwa punkty na powierzchni kuli spełnia własności odległości (zob, np. R. Courant, H. Robbins, Co to jest matematyka, rozdział VII), w szczególności tzw. nierówność trójkąta

Na podstawie nierówności trójkąta długości odpowiednich łuków spełniają

Otrzymaliśmy więc, że

a przez analogiczne rozumowanie możemy stwierdzić, że

oraz

Dodając stronami ostatnie trzy nierówności otrzymujemy

więc

stąd wynika, że suma miar kątów utworzonych przez z krawędziami kąta trójściennego nie przekracza sumy miar kątów płaskich .