XXXV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Dla danej liczby naturalnej $n$ znaleźć liczbę rozwiązań równania $\sqrt{x} + \sqrt{y} = n$ w liczbach naturalnych $x, y$ .

Rozwiązanie

Dla $n = 1$ dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Dla $n > 1$ każda para liczb $x_1 = 1^2, y_1 = (n- 1)^2, x_2 = 2^2, y_2 = (n-2)^2, \ldots, x_{n-1} = (n - 1)^2, y_{n-1} = 1^2$ stanowi oczywiście rozwiązanie danego równania, gdyż $\sqrt{k^2} + \sqrt{(n - k)^2} = k+(n-k) = n$ dla $0 < k < n$ .

Wykażemy, że innych rozwiązań nie ma. Gdyby para liczb naturalnych $x$ , $y$ była rozwiązaniem danego równania, przy czym np. liczba $x$ nie byłaby kwadratem liczby naturalnej, to spełniona byłaby równość $y = (n -\sqrt{x})^2$ , skąd wynikałoby, że $y-n^2 - x = 2n\sqrt{x}$ . Po lewej stronie tej równości występuje liczba całkowita, zatem $2n \sqrt{x}$ również jest liczbą całkowitą. Zatem $\sqrt{x}$ jest liczbą wymierną, $\sqrt{x} = \frac{m}{n}$ . Wobec tego $x = \left( \frac{m}{n} \right)^2$ , $xn^2 = m^2$ . W rozkładzie liczb $n^2$ , $m^2$ na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje w potędze o wykładniku parzystym. Wobec jednoznaczności rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wynika stąd, że również w rozkładzie liczby $x$ każdy czynnik pierwszy występuje w potędze o wykładniku parzystym,

$<br /> x = p_1^{2k_1} p_2^{2k_2} \ldots p_s^{2k_s}<br />$

Zatem $x$ jest kwadratem liczby naturalnej wbrew założeniu. Podobnie stwierdzamy,że żadna para liczb naturalnych $(x, y)$ , w której $y$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, nie jest rozwiązaniem danego równania.

Wobec tego dane równanie ma $n - 1$ rozwiązań w liczbach naturalnych.