XXXV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

Na bokach trójkąta $ABC$ budujemy podobne trójkąty równoramienne: trójkąt $APB$ na zewnątrz trójkąta $ABC$ ( $AP = PB$ ), trójkąt $CQA$ na zewnątrz trójkąta $ABC$ ( $CQ = QA$ ), trójkąt $CRB$ do wewnątrz trójkąta $ABC$ ( $CR = RB$ ). Dowieść, że $APRQ$ jest równoległobokiem lub punkty $A, P, R, Q$ leżą na prostej.

Rozwiązanie

Rozważmy podobieństwo mające punkt stały $C$ i przekształcające $B$ na $R$ (jest to złożenie obrotu wokół $C$ o kąt $BCR$ z jednokładnością o środku $C$ i skali równej stosunkowi długości podstawy do długości ramienia w każdym ze zbudowanych trójkątów równoramiennych). Podobieństwo to przekształca $A$ na $Q$ . Wynika stąd, że trójkąty $ABC$ i $QRC$ są podobne.

Analogicznie stwierdzamy, że podobieństwo o punkcie stałym $B$ przekształcające $C$ na $R$ przekształca $A$ na $P$ , więc trójkąty $ABC$ i $PBR$ są podobne. Wobec tego trójkąty $QRC$ i $PBR$ są podobne. Ponieważ $BR = CR$ , więc trójkąty te są przystające, a zatem $QC = PR$ i $QR = PB$ . Ale $QC = AQ$ i $PB = AP$ , więc $AQ = PR$ i $AP = QR$ . Ponadto kąt między wektorami $\overrightarrow{BP}$ i $\overrightarrow{RQ}$ ma miarę równą $\measuredangle PBA + \measuredangle BCR = 2 \measuredangle PBA$ , kąt zaś między wektorami $\overrightarrow{AP}$ i $\overrightarrow{BP}$ ma miarę równą $180^\circ - 2 \measuredangle PBA$ , skąd wynika, że wektory $\overrightarrow{RQ}$ i $\overrightarrow{AP}$ są równoległe. Wobec tego punkty $A$ , $P$ , $R$ , $Q$ leżą na jednej prostej albo są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.