Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXV OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

II

Ciąg $(x_n)$ określony jest wzorami

$<br /> x_1=c,\; x_{n+1} = cx_n + \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)} \quad\text{ dla }\quad n=1,2,\ldots<br />$

Dowieść, że jeśli $c$ jest liczbą naturalną, to wszystkie liczby $x_n$ są naturalne.

Rozwiązanie

Wyrazy $x_1 = c$ , $x_2 = 2c^2 - 1$ są liczbami naturalnymi.

Załóżmy dla pewnego $n$ , że wszystkie wyrazy $x_k$ przy $k \leq n$ są naturalne. Udowodnimy, że $x_{n+1}$ jest liczbą naturalną. Z danego wzoru wynika, że

$<br /> x_{n+1} -cx_n = \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)},<br />$

więc

$<br /> (*) \qquad(x_{n+1}-cx_n^2) =(c^2-1)(x_n^2-1)<br />$

i podobnie

$<br /> (x_n-cx_{n-1})^2 =(c^2-1)(x^2_{n-1}-1).<br />$

Z ostatniej równości otrzymujemy

$<br /> \begin{split}<br /> x_n^2 - 2cx_n x_{n-1} + c^2 x^2_{n-1} =c^2 x^2_{n-1} - c^2 - x^2_{n-1}+1,\\<br /> x_n^2 + c^2 - 1 = 2cx_n x_{n-1} - x^2_{n-1},<br /> \end{split}<br />$

a po odjęciu obu stron od $c^2x^2_n$

$<br /> c^2 x_n^2 -x_n^2 - c^2 + 1 = c^2x_n^2 - 2cx_n x_{n-1} + x_{n-1}^2,<br />$

czyli

$<br /> (**)\qquad (c^2-1)(x_n^2-1) = (cx_n - x_{n-1})^2.<br />$

Porównując (*) i (**) stwierdzamy, że

$<br /> (x_{n+1}-cx_n)^2 = (cx_n - x_{n-1})^2.<br />$

Ponieważ ze wzoru określającego ciąg wynika, że $x_{n+1} \geq cx_n$ oraz $cx_n \geq x_{n-1}$ , więc

$<br /> x_{n + 1} - cx_n = cx_n - x_{n-1},<br />$

a zatem

$<br /> x_{n+1} = 2cx_n - x_{n-1}.<br />$

Na mocy przyjętego założenia indukcyjnego liczby $x_n$ i $x_{n-1}$ są naturalne, więc liczba $2cx_n - x_{n-1}$ jest całkowita. Jest to ponadto liczba dodatnia, a więc $x_{n+ 1}$ jest liczbą naturalną.

Na mocy zasady indukcji wszystkie wyrazy ciągu $(x_n)$ są liczbami naturalnymi.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/840