XXXV OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

III

Dany jest ośmiościan foremny $W$ o środku $O$ . W płaszczyźnie $P$ przechodzącej przez punkt $O$ wybrano koła $K(O, r_1)$ i $K (O, r_2)$ o środku $O$ i promieniach $r_1$ i $r_2$ , odpowiednio. Wykazać, że jeżeli

$ K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2), $

$ \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}. $

Rozwiązanie

Rozważmy przekrój ośmiościanu płaszczyzną $P$ . Punkt $O$ jest środkiem symetrii tego przekroju, skąd wynika, że przekrój jest wielokątem o parzystej liczbie boków oraz że przeciwległe boki są równoległe i równej długości. W zależności od tego, czy płaszczyzna $P$ przechodzi przez wierzchołek ośmiościanu, czy nie przechodzi, przekrój jest czworokątem lub sześciokątem. Rozważmy te przypadki kolejno.

Jeśli płaszczyzna $P$ przechodzi przez wierzchołek ośmiościanu, to przechodzi też przez wierzchołek przeciwległy, skąd wynika, że sąsiednie boki przekroju mają równe długości, zatem przekrój jest rombem. Wobec tego średnica mniejszego z rozważanych kół nie przekracza odległości przeciwległych boków rombu, zaś średnica większego nie jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu. Jeśli długość boku rombu wynosi $d$ , to $2r_1 \leq d$ , $2r_2 \geq d \sqrt{2}$ , a zatem

$ \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}. $

W drugim przypadku przekrojem jest sześciokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i mają równe długości, a przekątne sześciokąta przecinają się w punkcie $O$ , który jest ich wspólnym środkiem.

Przypuśćmy, że $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ są kolejnymi wierzchołkami tego sześciokąta, przy czym kąt $KOL$ jest nie mniejszy od każdego z kątów mających wierzchołek $O$ i ramiona przechodzące przez sąsiednie wierzchołki sześciokąta. Wobec tego $\measuredangle KOL \geq 60^\circ$ . Oczywiście promień $r_1$ jest nie większy od odległości punktu $O$ od odcinka $\overline{KL}$ , promień $r_2$ jest nie mniejszy od $OK$ . Ponieważ punkt $O$ jest środkiem symetrii całej figury, więc trójkąt $KOL$ jest równoramienny, odległość punktu $O$ od $\overline{KL}$ równa jest długości wysokości opuszczonej na $\overline{KL}$ , tj. wynosi

$ OK \cdot \cos \left( \frac{1}{2} \measuredangle KOL \right) \leq OK \cdot \cos 30^\circ = OK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. $

Wobec tego

$ \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}. $