XXXV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXV OM, 1983-1984

Etap:

III

Rzucamy $n$ -krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , gdzie $a_i = 1$ lub $a_i = 2$ w zależności od tego, czy w $i$ -tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j$ dla $j = 1, 2,\ldots, n$ , $p(n)$ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ wystąpi liczba $n$ . Wyznaczyć $p(n)$ w zależności od $p(n-1)$ i $p(n-2)$ .

Rozwiązanie

Bezpośrednio stwierdzamy, że $p(1) = \frac{1}{2}$ , $p(2) = \frac{1}{4}$ . Przypuśćmy, że $n \geq 3$ . Zauważmy, że $b_j \geq j$ dla każdego $j$ . Liczba $n$ może wystąpić w ciągu $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ w następujących dwóch przypadkach:

1. Pewien wyraz tego ciągu równy jest $n-1$ , np. $b_k = n-1$ ( $k \leq n-1$ ) i ponadto $a_{k+1} = 1$ ,
2. Pewien wyraz tego ciągu równy jest $n - 2$ , np. $b_r = n - 2$ ( $r \leq n - 2$ ) i ponadto $a_{r + 1} = 2$ .

Prawdopodobieństwo dla wymienionych tu przypadków wynosi odpowiednio $p(n-1)\cdot \frac{1}{2}$ oraz $p(n-2)\cdot \frac{1}{2}$ , przy czym przypadki te nie mogą wystąpić jednocześnie. Wobec tego

$<br /> p(n) = p(n-1) \cdot \frac{1}{2} + p(n-2)\cdot \frac{1}{2}.<br />$