XXXIV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

$A$ rzuca monetą $n$ razy, $B$ rzuca $n+1$ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze $B$ wyrzuci więcej orłów niż $A$ ?

Rozwiązanie

Rozważmy następujące zdarzenia. $Z_0$ - zdarzenie polegające na tym, że gracz $B$ wyrzucił orła więcej razy niż gracz $A$ , $Z_r$ - zdarzenie polegające na tym, że $B$ wyrzucił reszkę więcej razy niż gracz $A$ . Zdarzenia te są jednakowo prawdopodobne: gdy moneta jest symetryczna, to obojętne jest, którą stronę nazwiemy orłem, a którą reszką. Zatem $P(Z_0) = P(Z_r)$ . Niech teraz $a_0$ , $a_r$ $b_0$ , $b_r$ będą kolejno liczbą orłów i liczbą reszek wyrzuconych przez $A$ oraz liczbą orłów i liczbą reszek wyrzuconych przez $B$ . Zgodnie z warunkami zadania $a_0+ a_r = n$ , $b_0+b_r=n+1$ . Stąd, przez odjęcie stronami, $(b_0-a_0)+ (b_r-a_r) = 1$ . Z równości tej wynika, że jedna i tylko jedna z liczb $b_0-a_0$ i $b_r-a_r$ jest dodatnia, czyli, że zajść może i musi dokładnie jedno ze zdarzeń $Z_0$ i $Z_r$ . Innymi słowy zdarzenia te są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości. Wobec tego $P(Z_0)=P(Z_r)= 1/2$ .