XXXIV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Dowieść, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, to

$ \sin A + \sin B + \sin C < \sin\left(A + \frac{B}{2}\right) + \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) + \sin\left(C + \frac{A}{2}\right). $

Rozwiązanie

Ponieważ $A+B+C = 180^\circ$ , więc $A+ \frac{B}{2} = 90^\circ + \frac{A-C}{2}$ i na podstawie wzorów redukcyjnych otrzymujemy $\sin \left( A + \frac{B}{2} \right) = cos \frac{A-C}{2}$ . Analogicznie stwierdzamy, że $\sin \left( B+ \frac{C}{2} \right) = \cos \frac{B-A}{2}$ , $\sin \left( C +\frac{A}{2} \right) = \cos \frac{C-B}{2}$ .

Z drugiej strony

$ \begin{split} \sin A + \sin B+\sin C &= \frac{1}{2} (\sin A + \sin B)+ \frac{1}{2}(\sin B+\sin C) + \frac{1}{2}(\sin C+ \sin A) = \\ &=\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} +\\ &\quad +\sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}=\\ &= \sin \left( 90^\circ - \frac{C}{2} \right) \cos \frac{A-B}{2}+ \\&\quad + \sin \left( 90^\circ - \frac{A}{2} \right) \cos \frac{B-C}{2} + \sin \left( 90^\circ - \frac{B}{2} \right) \cos \frac{C-A}{2}=\\ &=\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} + \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C-A}{2} \end{split} $

Dana w zadaniu nierówność jest więc równoważna nierówności

$ \begin{split} \cos \frac{C}{2} \cos\frac{A-B}{2}+ \cos \frac{A}{2} \cos\frac{B-C}{2}+ \cos \frac{B}{2} \cos\frac{C-A}{2}<\qquad &\\ <\cos \frac{B-A}{2} + \cos \frac{C-B}{2} + \cos \frac{A-C}{2}.& \end{split} $

Dla dowodu tej ostatniej nierówności pokażemy, że każdy składnik występujący po lewej stronie jest mniejszy od odpowiedniego składnika po prawej stronie. Istotnie
$\cos \frac{A-B}{2} = \cos \frac{B-A}{2} > 0$ oraz $0 < \cos \frac{C}{2} < 1$ , bo każdy z kątów $A$ , $B$ , $C$ jest większy od $0^\circ$ i mniejszy od $180^\circ$ . Zatem $\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} < \cos \frac{B-A}{2}$ . Analogicznie dostajemy $\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} < \cos \frac{C-B}{2}$ , $\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C-A}{2} < \cos \frac{A-C}{2}$ , co kończy dowód.