XXXIV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

We wnętrzu koła $K$ znajduje się $n$ kół, których środki leżą na średnicy $K$ . Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $K$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw dwa lematy
Lemat 1. Obwód sumy mnogościowej dwóch kół stycznych zewnętrznie równy jest obwodowi koła opisanego na tej sumie, to jest takiego koła, do którego oba dane koła są styczne wewnętrznie i o środku współliniowym z ich środkami.

Dowód. Obwód sumy mnogościowej kół stycznych zewnętrznie o promieniach $r_1$ i $r_2$ równy jest sumie obwodów tych kół, wynosi więc $2\pi r_1 + 2 \pi r_2$ . Koło opisane na sumie mnogościowej rozważanych kół stycznych ma średnicę będącą sumą średnic tamtych kół. Wobec tego jego obwód wynosi $2\pi(r_1+r_2)$ .

Lemat 2. Obwód sumy mnogościowej dwóch kół $K_1$ i $K_2$ , których okręgi przecinają się, jest mniejszy od sumy obwodu koła $K_1$ i obwodu koła $K_0$ stycznego zewnętrznie do $K_1$ oraz stycznego wewnętrznie do $K_2$ i mającego środek wspólliniowy ze środkami kół $K_1$ i $K_2$ .

Dowód. Obwód sumy mnogościowej $K_1 \cup K_2$ równy jest liczbie $2\pi(r_1+ r_2)$ zmniejszonej o obwód ,,soczewki'' będącej częścią wspólną tych kół ( $r_1$ , $r_2$ są odpowiednio promieniami kół $K_1$ i $K_2$ ). Obwód tej części wspólnej jest większy od obwodu koła wpisanego w nią, to jest największego koła w niej zawartego, bo spośród obszarów o danym polu najkrótszy obwód ma koło, a pole ,,soczewki'' jest większe od pola koła w nią wpisanego. Wobec tego obwód sumy $K_1 \cup K_2$ jest mniejszy od liczby $2\pi (r_1 + r_2-r_3)$ , gdzie $r_3$ jest promieniem koła wpisanego w soczewkę. Jeśli jednak $r_0$ jest promieniem koła $K_0$ , to $r_0 = r_2-r_3$ , więc obwód $K_1 \cup K_2$ jest mniejszy od liczby $2 \pi (r_1 + r_0)$ . (Liczba ta jest mniejsza od sumy obwodów $K_1$ i $K_2$ .)

Dowód tezy sformułowanej w zadaniu przeprowadzimy przez indukcję względem liczby kół umieszczonych we wnętrzu koła $K$ .

Obwód jednego koła leżącego wewnątrz koła $K$ oczywiście nie przekracza obwodu $K$ . Załóżmy, że dla pewnej liczby $n$ obwód sumy mnogościowej co najwyżej $n$ kół umieszczonych wewnątrz danego koła i mających środki na jego średnicy, nie przekracza obwodu tego koła. Rozważmy $n+1$ kół znajdujących się wewnątrz koła $K$ i mających środki na średnicy $K$ . Jeżeli wśród tych kół znajdują się takie, które zawierają się w innych, to obwód sumy mnogościowej tych kół jest w istocie równy obwodowi sumy mnogościowej co najwyżej $n$ kół. Stosuje się w tym przypadku założenie indukcyjne. Załóżmy teraz, że tak nie jest. Oznaczmy koła przez $K_1, K_2, \ldots, K_{n + 1}$ według kolejności leżenia ich środków na średnicy koła $K$ . Na mocy założenia indukcyjnego obwód sumy mnogościowej $K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_n$ nie przekracza obwodu koła opisanego na tej sumie. Jeżeli koło $K_{n +1}$ nie ma wspólnych punktów wewnętrznych z kołem $K_n$ , to wynika stąd, że obwód sumy $K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_{n + 1}$ nie przekracza obwodu $K$ .

Załóżmy, że koła $K_n$ i $K_{n+1}$ przecinają się i rozpatrzmy koło $K_0$ styczne wewnętrznie do $K_{n +1}$ oraz zewnętrznie do $K_n$ o środku leżącym na tej samej średnicy koła $K$ . Na mocy lematu 2 obwód sumy mnogościowej $K_n \cup K_{n+1}$ jest mniejszy od sumy obwodu koła $K_0$ i $K_{n + 1}$ . Niech $A$ , $B$ będą punktami wspólnymi okręgów kół $K_{n-1}$ , $K_n$ . Z powyższego wynika, że ograniczona punktami $A$ i $B$ część obwodu sumy $K_n \cup K_{n+1}$ jest mniejsza od sumy obwodu koła $K_0$ i stycznego do niego łuku okręgu koła $K_n$ o końcach w tych punktach. Wobec tego obwód sumy $K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_{n + 1}$ jest mniejszy od sumy obwodu $K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_n$ i obwodu koła $K_0$ . Oczywiście $K_0$ nie ma wspólnych punktów wewnętrznych z $K_n$ . Na podstawie rozważanego poprzednio przypadku ostatnia suma nie przekracza obwodu koła $K$ . Kończy to dowód kroku indukcyjnego.

Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby okręgów.