XXXIV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Udowodnić istnienie liczby $C_0$ o tej własności, że dla każdego ciągu $x_1, x_2, \ldots, x_N$ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $K$ , jeżeli liczba wyrazów $x_j$ nie mniejszych od $K$ jest nie większa od $\frac{N}{K}$ , to

$ \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że ciąg $x_1, x_2, \ldots, x_N$ spełnia podany warunek. Zmieniając w razie potrzeby porządek wyrazów, możemy założyć, że $x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_N$ . Pokażemy, że $x_j \leq N/j$ dla $j = 1,\ldots, N$ . Przypuśćmy, że tak nie jest, czyli, że dla pewnego numeru $m$ zachodzi nierówność $x_m > N/m$ . Weźmy dowolną liczbę $K$ taką, że $N/m < K < x_m$ . Zgodnie z założeniem liczba wyrazów $x_j$ większych od $K$ jest nie większa od $N/K$ , a więc jest mniejsza od $m$ . Otrzymujemy sprzeczność, bo $x_1,\ldots, x_m > K$ . Zatem mamy $x_j \leq N/j$ dla $j= 1,\ldots, N$ . Możemy teraz oszacować lewą stronę podanej w zadaniu nierówności:

$ L(N)= \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq \frac{1}{N} \sum_{j=2}^N \log \frac{N}{j} = \frac{1}{N} \log \prod_{j=1}^N \frac{N}{j} = \frac{1}{N} \log \frac{N^N}{N!}. $

Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnej liczby naturalnej $N$ spełniona jest
nierówność $N^N/N! < e^N$ , gdzie $e$ jest granicą rosnącego ciągu $\left( \left(1+\frac{1}{n} \right) \right)$ . Dla $N = 1$ ostatnia nierówność jest spełniona. Załóżmy prawdziwość tej nierówności dla pewnego $N$ . Wówczas

$ \frac{(N+1)^{N+1}}{(N+1)!} = \frac{(N+1)^N(N+1)}{N!(N+1)} = \frac{N^N}{N!} \left( 1 + \frac{1}{N} \right)^N < \frac{N^N}{N!} \cdot e < e^N \cdot e = e^{N+1}, $

co kończy dowód indukcyjny. Kontynuując oszacowanie wielkości $L(N)$ dostajemy

$ L(N) \leq \frac{1}{N} \log \frac{N^N}{N!}< \frac{1}{N} \log e^N =\log e. $

Jako stałą $C_0$ możemy więc przyjąć liczbę $\log e$ .

Uwaga. W sformułowaniu zadania nie sprecyzowano, czy symbol $\log$ oznacza logarytm dziesiętny, czy logarytm naturalny (tj. logarytm o podstawie $e$ ). Nie ma to znaczenia. Teza jest słuszna dla logarytmów o dowolnej podstawie większej od $1$ .