XXXIV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Liczby naturalne $m, n$ spełniają warunek $\sqrt{7} - \frac{m}{n}$ . Wykazać, że $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > \frac{1}{mn}$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby naturalne $m$ , $n$ spełniają warunki

$ \sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0, \ \sqrt{7} - \frac{m}{n} \leq \frac{1}{mn}. $

Z tych warunków

$ \frac{m}{n} < \sqrt{7} \leq \frac{m}{n} + \frac{1}{mn}. $

mamy więc następujące nierówności

$ \frac{m^2}{n^2} < 7 \leq \frac{m^2}{n^2} + 2\cdot \frac{1}{n^2} + \frac{1}{m^2n^2}, \ m^2 < 7n^2 < m^2 + 2 + \frac{1}{m^2}. $

Ponieważ nic może zachodzić równość $m = 1$ , więc jest spełniona nierówność podwójna $m^2 < 7n^2 < m^2+3$ .

Wobec tego albo (1) $7n^2 = m^2+1$ albo $7n^2 = m^2+2$ . Pokażemy, że jest to niemożliwe. Liczba $m$ ma jedną z następujących postaci $m= 7k$ , $m= 7k \pm 1$ , $m= 7k \pm 2$ , $m= 7k \pm 3$ . Badając, jaką resztę daje $m^2$ przy dzieleniu przez $7$ stwierdzamy, że

$ \begin{split} & (7k)^2= 49k^2+0\\ & (7k \pm 1)^2 = 49k^2 \pm 14k+1 = 7a+1\\ & (7k \pm 2)^2 = 49k^2 \pm 28k+4 = 7b+4\\ & (7k \pm 3)^2 = 49k^2 \pm 42k+9 = 7c+2 \end{split} $

Zatem ani $m^2+1$ ani $m^2+2$ nie może być liczbą podzięlną przez $7$ wbrew warunkowi (I). Tak więc przypuszczenie, że $7 - \frac{m}{n} \leq\frac{1}{mn}$ doprowadziło do sprzeczności.