I OM - B - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Wyznaczyć współczynniki $a$ i $b$ , równania $x^2 + ax +b=0$ tak, aby same wartości $a$ i $b$ były pierwiastkami tego równania.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy twierdzeń o sumie i iloczynie pierwiastków równania kwadratowego liczby $a$ i $b$ są wtedy i tylko wtedy
pierwiastkami równania $x^2 + ax + b = 0$ , gdy spełniają układ równań

$ \begin{cases} a+b = -a \\ ab = b \end{cases} $

czyli

$ (1) \qquad \begin{cases} b = - 2a \\ b(a -1) = 0 \end{cases} $

Drugie z równań układu (1) jest spełnione, gdy $b = 0$ lub gdy $a-1= 0$ , tj. gdy $a = 1$ .

Układ (l) ma więc dwa rozwiązania:

$ \begin{cases} b = 0 \\ a = 0 \end{cases} \quad \text{lub}\quad \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases} $

Równaniami kwadratowymi o żądanej właśności są równania

$ x^2 + 0\cdot x + 0 = 0, \text{ i } x^2 + x - 2 = 0. $

Sposób II

Liczby $a$ i $b$ mają spełniać równanie $x^2 + ax + b = 0$ . Zatem

$ \begin{cases} a^2+a^2+b = 0 \\ b^2 + ab + b = 0 \end{cases} $

czyli

$ (2) \qquad \begin{cases} 2a^2+b = 0 \\ b(a+b+1) = 0 \end{cases} $

Drugie z równań układu (2) daje $b = 0$ lub $a + b + 1 = 0$ .

Biorąc $b = 0$ otrzymujemy rozwiązanie

$ \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases} $
Biorąc $a + b + 1 = 0$ mamy $b = - a-l$ ; po podstawieniu do pierwszego z równań układu (2) otrzymujemy równanie

$ 2a^2 - a - 1 = 0 $

którego pierwiastkami są liczby $a = 1$ i $a = -1$ , przy czym odpowiednimi wartościami $b$ są liczby $b = - 2$ i $b=-\frac{1}{2}$ .

Stąd dalsze rozwiązania układu równań (2):

$ \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases} \quad \text{lub}\quad \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Ze znalezionych rozwiązań tylko liczby $a = 0$ , $b = 0$ oraz
liczby $a = 1$ , $b = - 2$ spełniają warunki zadania. Liczby $a = -\frac{1}{2}$ ,
$b = -\frac{1}{2}$ warunków tych nie spełniają, gdyż pierwiastkami równania
$x^2 - \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0$ są liczby $-\frac{1}{2}$ i 1, a nie liczby $-\frac{1}{2}$ i $-\frac{1}{2}$ .

Aby wyjaśnić ten paradoks, zauważmy, że układ równań (2)
daje tylko warunki konieczne dla poszukiwanych liczb $a$ i $b$ ,
Nie są to jednak warunki dostateczne: jeśli bowiem liczby
$a$ i $b$ spełniają układ (2), to każda z nich jest wprawdzie pierwiastkiem
równania $x^2 + ax + b = 0$ , ale z tego nie wynika, że $a$ i $b$
dają oba pierwiastki tego równania. W przypadku, gdy $a = b$ ,
jest to jeden i ten sam pierwiastek, jak to właśnie zachodzi w równaniu
$x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2} = 0$ .

Sposób III

Ponieważ pierwiastkami równania $x^2 + ax + b = 0$ są liczby $\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$
i $\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$ , więc poszukiwane liczby $a$ i $b$ czynią zadość bądź układowi równań

$ (3) \qquad \begin{cases} \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\ \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = b \end{cases} $

bądź też układowi równań

$ (4) \qquad \begin{cases} \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} = a \\ \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = b \end{cases} $

Oba układy (3) i (4) możemy rozwiązać jednocześnie. Dodając stronami
równania każdego układu oraz odejmując je stronami otrzymujemy

$ \begin{cases} -a = a+b \\ \sqrt{a^2-4b} = a-b \end{cases} \quad \text{lub}\quad \begin{cases} -a = a+b \\ -\sqrt{a^2-4b} = a-b \end{cases} $

Stąd

$ \begin{cases} b = -2a \\ a^2-4b = a^2-2ab+b^2 \end{cases} $

czyli

$ \begin{cases} b = -2a \\ b(b-2a+4) = 0 \end{cases} $

Ostatnie równanie daje dwie możliwości

Biorąc $b = 0$ i $b = - 2a$ otrzymujemy

$ a = 0,\quad b = 0 $
Biorąc $b- 2a + 4 = 0$ i $b = - 2a$ otrzymujemy

$ a = 1, \quad b =-2 $

Wartości $a = 0$ , $b = 0$ spełniają oba układy (3) i (4), natomiast wartości
$a = 1$ , $b = - 2$ spełniają tylko układ (3). Otrzymujemy
- zgodnie z poprzednim - dwa równania kwadratowe o żądanej
własności: $x^2 + 0\cdot x + 0 = 0$ i $x^2 + x - 2 = 0$ .