XXXIV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Czy istnieją trzy punkty płaszczyzny o współrzędnych postaci $a+b\sqrt[3]{2}$ , gdzie $a, b$ są liczbami wymiernymi, o tej własności, że co najmniej jedna z odległości dowolnego punktu płaszczyzny od każdego z tych punktów jest liczbą niewymierną?

Rozwiązanie

Punkty takie istnieją. Pokażemy, że np. trójka punktów $A = (\sqrt[3]{2},0)$ , $B=(-\sqrt[3]{2},0)$ , $C = (0,0)$ ma żądaną własność. Przypuśćmy bowiem, że odległość pewnego punktu $P=(x,y)$ od każdego z punktów $A$ , $B$ , $C$ jest liczbą wymierną. Wobec tego wymierne są też liczby $PA^2 = (x-\sqrt[3]{2})^2+y^2$ , $PB^2 = (x+\sqrt[3]{2})^2+y^2$ , $PC^2 = x^2+y^2$ , a więc liczba $PA^2+PB^2-2PC^2 = (x^2-2\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}+y^2) + (x^2+2\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}+y^2)-2(x^2+y^2) = 2\sqrt[3]{4}$ musiałaby być wymierna - co nie jest prawdą. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że co najmniej jedna z odległości $PA$ , $PB$ , $PC$ jest liczbą niewymierną.