XXXIV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Dane są takie trzy liczby nieujemne $a, b, c$ , że suma każdych dwóch jest nie mniejsza od pozostałej. Dowieść, że

$ \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}. $

Rozwiązanie

Zastosujemy nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{\frac{x+y}{2}} \geq \frac{1}{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y}), \ \textrm{dla} \ x, y > 0, $

którą można wyprowadzić z własności funkcji pierwiastkowej, albo udowodnić bezpośrednio jak następuje. Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną

$ \frac{x+y}{2} \geq \frac{1}{4} (x+y+2\sqrt{xy}), $

którą następnie przekształcamy do postaci

$ \begin{split} \frac{x+y}{4} \geq \frac{\sqrt{xy}}{2},\\ x+y-2\sqrt{xy} \geq 0,\\ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0 \end{split} $

Cztery powyższe nierówności są oczywiście równoważne, a ostatnia jest spełniona dla wszystkich nieujemnych $x$ , $y$ .

W nierówności (1) podstawiamy $x= a+b-c$ , $y = a-b+c$ i dostajemy

$ \sqrt{a} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}). $

Analogicznie

$ \sqrt{b} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{-a+b+c}) $

$ \sqrt{c} \geq \frac{1}{2}(\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}). $

Po dodaniu tych nierówności otrzymujemy

$ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c}. $

Uwaga. Jeśli liczby $a$ , $b$ , $c$ są różne, to każdą z powyższych nierówności można zastąpić przez nierówność ostrą.