XXXIV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , przy czym $\measuredangle PAC = \measuredangle PBC$ . Punkty $L$ i $M$ są odpowiednio rzutami $P$ na proste $BC$ i $CA$ , $D$ jest środkiem odcinka $AB$ . Dowieść, że $DL = DM$ .

Rozwiązanie

Niech $Q$ i $R$ będą odpowiednio środkami odcinków $AP$ i $BP$ . Punkty te są środkami kół opisanych odpowiednio na trójkątach $APM$ i $BPL$ , skąd wynika, że

$ \measuredangle MQP = 2 \measuredangle PAM \ \textrm{i} \ \measuredangle LRP = 2 \measuredangle PBL $

jako kąty środkowe oparte na tych samych łukach, co odpowiednie kąty wpisane. Kąty $PAM$ i $PBL$ są równe z założenia. Zatem

$ \ (1) \qquad \measuredangle MQP= \measuredangle LRP. $

Odcinek $\overline{DQ}$ łączy środki boków $\overline{AB}$ i $\overline{AP}$ trójkąta $ABP$ . Wynika stąd, że $\overline{DQ} || \overline{BP}$ . Analogicznie $\overline{DR} || \overline{AP}$ . Wobec tego czworokąt $DRPQ$ jest równoległobokiem, skąd wynika, że

$ (2) \qquad \measuredangle PQD = \measuredangle PRD. $

Z równości (1) i (2) otrzymujemy, że $\measuredangle MQD = \measuredangle DRL$ . Ponadto $MQ= QP= DR$ oraz $LR= RP= DQ$ . Wynika stąd, że trójkąty $MQD$ i $DRL$ są przystające, a zatem $DM$ = $DL$ .