XXXIV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

Dwusieczne kątów $CAB, ABC, BCA$ trójkąta $ABC$ przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach $K, L, M$ . Dowieść, że

$ AK+BL+CM > AB+BC+CA. $

Rozwiązanie

Oznaczmy krótko przez $A$ , $B$ , $C$ odpowiednie kąty trójkąta $ABC$ . Kąt $AKB$ jest oparty na tym samym łuku, co kąt $C$ , więc $\measuredangle AKB = C$ . W trójkącie $AKB$ suma miar kątów wynosi $180^\circ$ , więc $\measuredangle ABK = 180^\circ -\measuredangle AKB- \measuredangle BAK = 180^\circ - C- A/2$ . Stąd i z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ABK$ otrzymujemy $AK= 2R\sin \measuredangle ABK = 2R \sin (180^\circ -C-A/2) = 2R\sin \left( C+ \frac{A}{2} \right)$ . Analogicznie mamy